Номер 558, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

558. Докажите, что треугольники $ABM$ и $CBM$, где $M$ — внутренняя точка треугольника $ABC$, равновелики тогда и только тогда, когда точка $M$ является точкой медианы $BB_1$.

Утверждение «тогда и только тогда» означает, что нам необходимо доказать два взаимно обратных утверждения.

1. Докажем, что если точка M лежит на медиане BB₁, то треугольники ABM и CBM равновелики.

Пусть $BB_1$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$. По определению медианы, точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, следовательно, длины отрезков $AB_1$ и $CB_1$ равны: $AB_1 = CB_1$.

Рассмотрим треугольники $ABB_1$ и $CBB_1$. У них основания $AB_1$ и $CB_1$ равны, а высота, опущенная из общей вершины $B$ на прямую $AC$, является для них общей. Следовательно, площади этих треугольников равны: $S_{\triangle ABB_1} = S_{\triangle CBB_1}$.

Теперь рассмотрим треугольники $AMB_1$ и $CMB_1$. По условию, точка $M$ лежит на медиане $BB_1$. У этих треугольников также равны основания $AB_1$ и $CB_1$, а высота, опущенная из их общей вершины $M$ на прямую $AC$, является общей. Значит, их площади тоже равны: $S_{\triangle AMB_1} = S_{\triangle CMB_1}$.

Площадь треугольника $ABM$ можно представить как разность площадей треугольников $ABB_1$ и $AMB_1$: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ABB_1} - S_{\triangle AMB_1}$.

Аналогично, площадь треугольника $CBM$ можно представить как разность площадей треугольников $CBB_1$ и $CMB_1$: $S_{\triangle CBM} = S_{\triangle CBB_1} - S_{\triangle CMB_1}$.

Поскольку $S_{\triangle ABB_1} = S_{\triangle CBB_1}$ и $S_{\triangle AMB_1} = S_{\triangle CMB_1}$, то и разности этих площадей равны: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$. Это доказывает, что треугольники $ABM$ и $CBM$ равновелики.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2. Докажем, что если треугольники ABM и CBM равновелики, то точка M лежит на медиане BB₁.

Пусть площади треугольников $ABM$ и $CBM$ равны: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$.

Используем формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. В треугольниках $ABM$ и $CBM$ есть общая сторона $BM$. Примем ее за основание.

Пусть $h_A$ — высота, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BM$, а $h_C$ — высота, опущенная из вершины $C$ на ту же прямую. Тогда площади треугольников можно выразить как: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_A$ $S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_C$

Из условия $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$ следует равенство: $\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_C$. Так как $M$ — внутренняя точка треугольника, длина отрезка $BM$ больше нуля ($BM > 0$). Сократив обе части равенства на $\frac{1}{2}BM$, получим $h_A = h_C$. Это означает, что точки $A$ и $C$ равноудалены от прямой $BM$.

Проведем прямую через точки $B$ и $M$ до пересечения со стороной $AC$. Обозначим точку пересечения как $B'$. Наша задача — доказать, что $B'$ является серединой отрезка $AC$, то есть совпадает с точкой $B_1$.

Опустим из точек $A$ и $C$ перпендикуляры $AK$ и $CL$ на прямую $BM$. Длины этих перпендикуляров и есть высоты $h_A$ и $h_C$, то есть $AK = h_A$ и $CL = h_C$. Так как мы доказали, что $h_A = h_C$, то $AK = CL$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AKB'$ и $CLB'$. В этих треугольниках: $\angle AKB' = \angle CLB' = 90^\circ$ (по построению), $\angle AB'K = \angle CB'L$ (как вертикальные углы), и катеты $AK = CL$ (по доказанному). Следовательно, треугольники $AKB'$ и $CLB'$ равны по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB' = CB'$. Это означает, что точка $B'$, в которой прямая $BM$ пересекает сторону $AC$, является ее серединой.

По определению, отрезок, соединяющий вершину $B$ с серединой противоположной стороны $AC$, является медианой $BB_1$. Значит, точка $B'$ совпадает с точкой $B_1$, а прямая $BM$ совпадает с прямой, содержащей медиану $BB_1$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $BB'$, она является точкой медианы $BB_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.