Номер 559, страница 178 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

559. Прямая, параллельная стороне треугольника, разделила его на равновеликие части. Выясните, в каком отношении эта прямая разделила две другие стороны.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Проведем прямую $MN$, параллельную стороне $AC$, которая пересекает две другие стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

По условию, эта прямая делит треугольник $\triangle ABC$ на две равновеликие части. Это означает, что площадь отсеченного треугольника $\triangle MBN$ равна площади образовавшейся трапеции $AMNC$.

$S_{\triangle MBN} = S_{AMNC}$

Площадь всего треугольника $\triangle ABC$ равна сумме площадей этих двух частей:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle MBN} + S_{AMNC}$

Так как площади частей равны, то:

$S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle MBN}$

Отсюда получаем отношение площади малого треугольника к площади большого:

$\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2}$

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то треугольник $\triangle MBN$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, а $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению соответственных сторон.

$\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{BM}{BA}\right)^2 = \left(\frac{BN}{BC}\right)^2$

Подставив известное отношение площадей, найдем квадрат коэффициента подобия:

$k^2 = \frac{1}{2}$

Следовательно, коэффициент подобия равен:

$k = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, мы имеем соотношение для сторон:

$\frac{BM}{BA} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Нам нужно найти отношение, в котором прямая $MN$ делит сторону $AB$, то есть отношение отрезков $AM$ к $MB$.

Мы знаем, что $BA = AM + MB$. Из соотношения выше выразим $BA$:

$BA = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot BM = \sqrt{2} \cdot BM$

Теперь подставим это в выражение для $BA$:

$\sqrt{2} \cdot BM = AM + MB$

Выразим отрезок $AM$:

$AM = \sqrt{2} \cdot BM - MB = BM(\sqrt{2} - 1)$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{AM}{MB}$:

$\frac{AM}{MB} = \frac{BM(\sqrt{2} - 1)}{BM} = \sqrt{2} - 1$

Аналогичные рассуждения справедливы и для стороны $BC$, где точка $N$ делит ее в отношении $\frac{CN}{NB} = \sqrt{2} - 1$.

Таким образом, прямая делит стороны треугольника в отношении $(\sqrt{2} - 1) : 1$.

Ответ: Прямая разделила две другие стороны в отношении $(\sqrt{2}-1):1$, считая от основания треугольника к вершине.