Номер 611, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

611. Найдите объем правильной призмы, вписанной в шар с радиусом:

а) 9 см, учитывая, что она четырехугольная и ее высота равна 14 дм;

б) $R$, учитывая, что она треугольная и ее высота равна $H$;

в) $R$, учитывая, что она четырехугольная и диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$.

Объем правильной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота призмы.
Если призма вписана в шар с радиусом $R$, то ее вершины лежат на поверхности шара. Для правильной призмы радиус шара $R$, высота призмы $H$ и радиус $r$ окружности, описанной около основания призмы, связаны соотношением, которое следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и катетами $r$ и $H/2$: $R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$. Из этого соотношения мы можем найти $r$: $r^2 = R^2 - \frac{H^2}{4}$. Это соотношение будет использоваться для решения всех подпунктов.

а)

Дано: призма правильная четырехугольная (в основании квадрат), радиус шара $R_{сферы} = 9$ см, высота призмы $H = 14$ дм.
Сначала приведем все размеры к единой системе измерения, например, к сантиметрам. $H = 14 \text{ дм} = 140 \text{ см}$.
Для того чтобы призма была вписана в шар, необходимо выполнение условия $R_{сферы} > H/2$. В данном случае $H/2 = 140/2 = 70$ см. Радиус шара $R_{сферы} = 9$ см. Условие $9 > 70$ не выполняется, что означает, что призма с такой высотой не может быть вписана в шар такого радиуса.
Вероятно, в условии задачи опечатка. Предположим, что высота призмы равна 14 см, а не 14 дм. При $H = 14$ см условие $R_{сферы} > H/2$ выполняется ($9 > 14/2 \implies 9 > 7$).
Найдем квадрат радиуса окружности, описанной около основания: $r^2 = R_{сферы}^2 - (\frac{H}{2})^2 = 9^2 - (\frac{14}{2})^2 = 81 - 7^2 = 81 - 49 = 32 \text{ см}^2$.
В основании призмы лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$. Радиус описанной около квадрата окружности связан со стороной соотношением $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Площадь квадрата можно выразить через радиус описанной окружности: $S_{осн} = a^2 = (r\sqrt{2})^2 = 2r^2$. $S_{осн} = 2 \cdot 32 = 64 \text{ см}^2$.
Теперь найдем объем призмы: $V = S_{осн} \cdot H = 64 \cdot 14 = 896 \text{ см}^3$.

Ответ: при условии, что высота призмы 14 см, объем равен $896 \text{ см}^3$.

б)

Дано: призма правильная треугольная (в основании равносторонний треугольник), радиус шара равен $R$, высота призмы равна $H$.
Призма может быть вписана в шар при условии $R > H/2$.
Найдем квадрат радиуса окружности, описанной около основания: $r^2 = R^2 - (\frac{H}{2})^2 = R^2 - \frac{H^2}{4}$.
В основании призмы лежит равносторонний треугольник. Пусть его сторона равна $a$. Радиус описанной окружности равен $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Площадь равностороннего треугольника $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Выразим площадь через $r$: так как $a = r\sqrt{3}$, то $a^2 = 3r^2$. $S_{осн} = \frac{3r^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим выражение для $r^2$: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{4} (R^2 - \frac{H^2}{4})$.
Теперь найдем объем призмы: $V = S_{осн} \cdot H = \frac{3\sqrt{3}}{4} H (R^2 - \frac{H^2}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{16}H(4R^2 - H^2)$.

Ответ: $V = \frac{3\sqrt{3}}{16}H(4R^2 - H^2)$ при $2R>H$.

в)

Дано: призма правильная четырехугольная (в основании квадрат), радиус шара равен $R$, диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$.
Пусть сторона основания (квадрата) равна $a$, а высота призмы равна $H$. Диагональ боковой грани, ее проекция на плоскость основания (которая является стороной $a$) и высота призмы $H$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и основанием в этом треугольнике равен $\alpha$.
Из этого треугольника имеем: $\tan \alpha = \frac{H}{a}$, откуда $H = a \tan \alpha$.
Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $r^2 = \frac{a^2}{2}$.
Подставим выражения для $H$ и $r^2$ в основное соотношение $R^2 = r^2 + (H/2)^2$: $R^2 = \frac{a^2}{2} + (\frac{a \tan \alpha}{2})^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2 \tan^2 \alpha}{4} = a^2(\frac{1}{2} + \frac{\tan^2 \alpha}{4}) = a^2 \frac{2 + \tan^2 \alpha}{4}$.
Отсюда выразим $a^2$: $a^2 = \frac{4R^2}{2 + \tan^2 \alpha}$. Это и есть площадь основания: $S_{осн} = a^2 = \frac{4R^2}{2 + \tan^2 \alpha}$.
Теперь найдем высоту $H$: $H = a \tan \alpha = \sqrt{\frac{4R^2}{2 + \tan^2 \alpha}} \tan \alpha = \frac{2R \tan \alpha}{\sqrt{2 + \tan^2 \alpha}}$.
Вычислим объем призмы: $V = S_{осн} \cdot H = \frac{4R^2}{2 + \tan^2 \alpha} \cdot \frac{2R \tan \alpha}{\sqrt{2 + \tan^2 \alpha}} = \frac{8R^3 \tan \alpha}{(2 + \tan^2 \alpha)^{3/2}}$.

Ответ: $V = \frac{8R^3 \tan \alpha}{(2 + \tan^2 \alpha)^{3/2}}$.