Номер 625, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

625. Сравните поверхность шара с полной поверхностью цилиндра, учитывая, что они имеют равные объемы и радиус шара равен радиусу основания цилиндра.

Для сравнения поверхностей шара и цилиндра введем необходимые обозначения и запишем формулы.
Пусть $R$ – радиус шара. Согласно условию, радиус основания цилиндра также равен $R$.
Пусть $h$ – высота цилиндра.

Объем шара вычисляется по формуле:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Площадь поверхности шара:
$S_{шара} = 4\pi R^2$

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V_{цилиндра} = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$

Полная поверхность цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований:
$S_{полн. цил.} = 2\pi R h + 2\pi R^2$

По условию задачи, объемы шара и цилиндра равны: $V_{шара} = V_{цилиндра}$. Используем это равенство, чтобы найти связь между высотой цилиндра $h$ и радиусом $R$:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi R^2 h$
Разделим обе части уравнения на $\pi R^2$ (поскольку радиус не может быть равен нулю, $R \neq 0$):
$h = \frac{4}{3}R$

Теперь, зная высоту цилиндра, мы можем вычислить площадь его полной поверхности. Подставим выражение $h = \frac{4}{3}R$ в формулу для $S_{полн. цил.}$:
$S_{полн. цил.} = 2\pi R \left(\frac{4}{3}R\right) + 2\pi R^2$
$S_{полн. цил.} = \frac{8}{3}\pi R^2 + 2\pi R^2$
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$S_{полн. цил.} = \frac{8}{3}\pi R^2 + \frac{6}{3}\pi R^2 = \frac{14}{3}\pi R^2$

Осталось сравнить площади поверхностей шара и цилиндра.
$S_{шара} = 4\pi R^2$
$S_{полн. цил.} = \frac{14}{3}\pi R^2$
Для сравнения чисел $4$ и $\frac{14}{3}$, представим $4$ в виде дроби со знаменателем 3: $4 = \frac{12}{3}$.
Так как $\frac{14}{3} > \frac{12}{3}$, то и $\frac{14}{3}\pi R^2 > 4\pi R^2$.
Следовательно, $S_{полн. цил.} > S_{шара}$.

Найдем отношение их площадей:
$\frac{S_{полн. цил.}}{S_{шара}} = \frac{\frac{14}{3}\pi R^2}{4\pi R^2} = \frac{14}{3 \cdot 4} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Ответ: Полная поверхность цилиндра больше поверхности шара. Их отношение равно $\frac{7}{6}$.