Номер 627, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

627. Найдите отношение:

а) объемов шара и вписанного в него конуса, основанием которого служит большой круг, а вершина принадлежит поверхности шара;

б) объемов усеченного конуса с радиусами оснований $r$ и $r_1$ и вписанного в него шара.

а)

Пусть радиус шара равен $R$. Объем шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

В шар вписан конус, основанием которого служит большой круг шара, а вершина принадлежит поверхности шара. Это означает, что радиус основания конуса $r_{кон}$ равен радиусу шара $R$, а высота конуса $h_{кон}$ также равна радиусу шара $R$.

Радиус основания конуса: $r_{кон} = R$.

Высота конуса: $h_{кон} = R$.

Объем конуса $V_{кон}$ вычисляется по формуле:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r_{кон}^2 h_{кон}$

Подставим значения $r_{кон}$ и $h_{кон}$:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3$

Теперь найдем отношение объема шара к объему вписанного в него конуса:

$\frac{V_{шара}}{V_{кон}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{1}{3}\pi R^3}$

Сократив общие множители $\frac{1}{3}\pi R^3$, получим:

$\frac{V_{шара}}{V_{кон}} = 4$

Таким образом, отношение объемов равно 4 к 1.

Ответ: $4:1$.

б)

Пусть радиусы оснований усеченного конуса равны $r$ и $r_1$, а радиус вписанного в него шара равен $R_{ш}$.

Поскольку шар вписан в усеченный конус, он касается обоих оснований. Это означает, что высота усеченного конуса $h_{кон}$ равна диаметру шара:

$h_{кон} = 2R_{ш}$

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением будет равнобокая трапеция с основаниями $2r$ и $2r_1$ и вписанной в нее окружностью радиуса $R_{ш}$. Высота трапеции равна $h_{кон} = 2R_{ш}$.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Если $l$ — образующая усеченного конуса (боковая сторона трапеции), то:

$2r + 2r_1 = l + l = 2l$

Отсюда $l = r + r_1$.

С другой стороны, из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h_{кон}$, частью большего основания $(r - r_1)$ и образующей $l$, по теореме Пифагора имеем:

$l^2 = h_{кон}^2 + (r - r_1)^2$

Подставим известные выражения для $l$ и $h_{кон}$:

$(r + r_1)^2 = (2R_{ш})^2 + (r - r_1)^2$

Раскроем скобки:

$r^2 + 2rr_1 + r_1^2 = 4R_{ш}^2 + r^2 - 2rr_1 + r_1^2$

Упростим выражение:

$4rr_1 = 4R_{ш}^2$

$R_{ш}^2 = rr_1 \Rightarrow R_{ш} = \sqrt{rr_1}$

Теперь найдем объемы.

Объем усеченного конуса $V_{кон}$ вычисляется по формуле:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi h_{кон} (r^2 + r_1^2 + rr_1)$

Подставим $h_{кон} = 2R_{ш} = 2\sqrt{rr_1}$:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{rr_1}) (r^2 + rr_1 + r_1^2) = \frac{2}{3} \pi \sqrt{rr_1} (r^2 + rr_1 + r_1^2)$

Объем вписанного шара $V_{шара}$:

$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R_{ш}^3 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{rr_1})^3 = \frac{4}{3} \pi rr_1 \sqrt{rr_1}$

Найдем отношение объема усеченного конуса к объему вписанного шара:

$\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{\frac{2}{3} \pi \sqrt{rr_1} (r^2 + rr_1 + r_1^2)}{\frac{4}{3} \pi rr_1 \sqrt{rr_1}}$

Сократим общие множители $\frac{2}{3}$, $\pi$, $\sqrt{rr_1}$:

$\frac{V_{кон}}{V_{шара}} = \frac{r^2 + rr_1 + r_1^2}{2rr_1}$

Ответ: $\frac{r^2 + rr_1 + r_1^2}{2rr_1}$.