Номер 634, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

634. Найдите радиус шара, учитывая, что его масса равна:

а) 150 кг, он изготовлен из железа, плотность которого равна $7,9 \text{ г/см}^3$;

б) 10 кг, он изготовлен из чугуна, плотность которого равна $7,2 \text{ г/см}^3$.

Для нахождения радиуса шара ($R$) необходимо связать его массу ($m$), плотность материала ($\rho$) и объем ($V$). Связь между этими величинами описывается следующими формулами:

• Формула массы: $m = \rho \cdot V$
• Формула объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Сначала выразим объем из формулы массы: $V = \frac{m}{\rho}$.

Затем подставим это выражение в формулу объема шара, чтобы связать массу и радиус: $\frac{m}{\rho} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Теперь выразим из этого уравнения радиус $R$: $R^3 = \frac{3m}{4\pi\rho}$ $R = \sqrt[3]{\frac{3m}{4\pi\rho}}$

Используем эту итоговую формулу для решения обоих пунктов.

а)

Дано: масса железного шара $m = 150$ кг, плотность железа $\rho = 7,9$ г/см³.

Прежде всего, необходимо привести единицы измерения к одной системе. Так как плотность дана в г/см³, переведем массу из килограммов в граммы: $m = 150 \text{ кг} = 150 \times 1000 \text{ г} = 150000 \text{ г}$.

Теперь подставим значения в формулу для радиуса: $R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 150000 \text{ г}}{4\pi \cdot 7,9 \text{ г/см³}}} = \sqrt[3]{\frac{450000}{31,6\pi}} \text{ см}$

Выполним вычисления (используя $\pi \approx 3,14159$): $R \approx \sqrt[3]{\frac{450000}{31,6 \cdot 3,14159}} \approx \sqrt[3]{\frac{450000}{99,234}} \approx \sqrt[3]{4534,4} \text{ см}$

Извлекая кубический корень, получаем: $R \approx 16,55 \text{ см}$

Ответ: радиус железного шара равен примерно 16,55 см.

б)

Дано: масса чугунного шара $m = 10$ кг, плотность чугуна $\rho = 7,2$ г/см³.

Переведем массу в граммы: $m = 10 \text{ кг} = 10 \times 1000 \text{ г} = 10000 \text{ г}$.

Подставим значения в формулу для радиуса: $R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 10000 \text{ г}}{4\pi \cdot 7,2 \text{ г/см³}}} = \sqrt[3]{\frac{30000}{28,8\pi}} \text{ см}$

Выполним вычисления (используя $\pi \approx 3,14159$): $R \approx \sqrt[3]{\frac{30000}{28,8 \cdot 3,14159}} \approx \sqrt[3]{\frac{30000}{90,478}} \approx \sqrt[3]{331,57} \text{ см}$

Извлекая кубический корень, получаем: $R \approx 6,92 \text{ см}$

Ответ: радиус чугунного шара равен примерно 6,92 см.