Номер 639, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

639*. Радиус шара равен 2 м, а радиус сечения шара плоскостью — 1 м.

Найдите объем сектора, который соответствует сегменту, отсеченному плоскостью.

Для решения задачи воспользуемся формулой объема шарового сектора и теоремой Пифагора.

1. Определение параметров

Пусть $R$ — радиус шара, а $r$ — радиус сечения шара плоскостью. По условию задачи:

$R = 2$ м

$r = 1$ м

Объем шарового сектора определяется формулой: $V_{сект} = \frac{2}{3}\pi R^2 h$, где $h$ — высота соответствующего шарового сегмента.

2. Нахождение высоты шарового сегмента (h)

Чтобы найти высоту $h$, нам необходимо сначала вычислить расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости. Рассмотрим осевое сечение шара, проходящее через центр шара и перпендикулярное секущей плоскости. В этом сечении мы получим окружность радиуса $R$ и хорду, которая является диаметром сечения. Радиус шара $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $r$ и $d$ — катеты.

По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

Выразим и найдем $d$:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ м.

Сегмент, "отсеченный" плоскостью, — это меньший из двух сегментов, на которые плоскость делит шар. Высота этого сегмента $h$ вычисляется как разность между радиусом шара и расстоянием от центра до плоскости:

$h = R - d = 2 - \sqrt{3}$ м.

3. Вычисление объема шарового сектора

Теперь, зная радиус шара $R$ и высоту сегмента $h$, мы можем вычислить объем соответствующего шарового сектора по формуле:

$V_{сект} = \frac{2}{3}\pi R^2 h$

Подставим наши значения:

$V_{сект} = \frac{2}{3}\pi \cdot (2)^2 \cdot (2 - \sqrt{3})$

$V_{сект} = \frac{2}{3}\pi \cdot 4 \cdot (2 - \sqrt{3})$

$V_{сект} = \frac{8\pi}{3}(2 - \sqrt{3})$ м$^3$.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}(2 - \sqrt{3})$ м$^3$.