Номер 641, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

641*. Найдите объем части шара, которую отсекает от него плоскость, учитывая, что радиус окружности сечения равен:

а) 24 см, а радиус шара — 30 см;

б) 60 см, а радиус шара — 75 см.

Часть шара, отсекаемая плоскостью, называется шаровым сегментом. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

$V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Чтобы найти высоту сегмента $h$, сначала необходимо найти расстояние $d$ от центра шара до секущей плоскости. Радиус шара $R$, радиус окружности сечения $r$ и расстояние $d$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2 \implies d = \sqrt{R^2 - r^2}$

Высота меньшего шарового сегмента $h$ (объем которого, как правило, и ищут в таких задачах) равна разности радиуса шара и расстояния $d$:

$h = R - d$

Теперь решим задачу для каждого случая.

а)

Дано: радиус окружности сечения $r = 24$ см, радиус шара $R = 30$ см.

1. Найдем расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см.

2. Найдем высоту шарового сегмента $h$:

$h = R - d = 30 - 18 = 12$ см.

3. Вычислим объем шарового сегмента:

$V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \pi \cdot 12^2 (30 - \frac{12}{3}) = \pi \cdot 144 (30 - 4) = 144 \cdot 26 \pi = 3744\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $3744\pi \text{ см}^3$.

б)

Дано: радиус окружности сечения $r = 60$ см, радиус шара $R = 75$ см.

1. Найдем расстояние $d$ от центра шара до плоскости сечения:

$d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{75^2 - 60^2} = \sqrt{5625 - 3600} = \sqrt{2025} = 45$ см.

2. Найдем высоту шарового сегмента $h$:

$h = R - d = 75 - 45 = 30$ см.

3. Вычислим объем шарового сегмента:

$V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \pi \cdot 30^2 (75 - \frac{30}{3}) = \pi \cdot 900 (75 - 10) = 900 \cdot 65 \pi = 58500\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $58500\pi \text{ см}^3$.