Номер 638, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

638. Чугунный шар диаметром 10 см покрыт бронзовой оболочкой толщиной 3 мм. Найдите массу бронзы, израсходованной на покрытие шара, учитывая, что плотность бронзы равна 8,7 $ \text{г}/\text{см}^3 $.

Для решения задачи необходимо найти объем бронзовой оболочки и, используя значение плотности бронзы, вычислить ее массу.

Этап 1: Определение радиусов и перевод единиц измерения

Сначала определим радиус внутреннего чугунного шара. Диаметр шара $d = 10$ см, следовательно, его радиус $r_1$ равен:

$r_1 = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Толщина бронзовой оболочки дана в миллиметрах, переведем ее в сантиметры для соответствия единицам измерения радиуса и плотности:

$h = 3 \text{ мм} = 0.3 \text{ см}$.

Теперь найдем внешний радиус шара вместе с оболочкой ($r_2$). Он равен сумме радиуса чугунного шара и толщины оболочки:

$r_2 = r_1 + h = 5 \text{ см} + 0.3 \text{ см} = 5.3 \text{ см}$.

Этап 2: Вычисление объема бронзовой оболочки

Объем бронзовой оболочки ($V_{обол}$) можно вычислить как разность объемов двух шаров: большого шара с радиусом $r_2$ и малого (внутреннего) шара с радиусом $r_1$. Формула для объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Таким образом, объем оболочки равен:

$V_{обол} = V_2 - V_1 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 - \frac{4}{3}\pi r_1^3 = \frac{4}{3}\pi(r_2^3 - r_1^3)$.

Подставим числовые значения радиусов в формулу:

$V_{обол} = \frac{4}{3}\pi(5.3^3 - 5^3)$.

Вычислим кубы радиусов:

$5.3^3 = 148.877$

$5^3 = 125$

Теперь можем найти объем оболочки:

$V_{обол} = \frac{4}{3}\pi(148.877 - 125) = \frac{4}{3}\pi(23.877) \text{ см}^3$.

Выполняя вычисления, получаем:

$V_{обол} \approx 100.015 \text{ см}^3$.

Этап 3: Расчет массы бронзы

Масса тела ($m$) связана с его объемом ($V$) и плотностью ($\rho$) формулой $m = \rho \cdot V$. Плотность бронзы дана в условии и равна $\rho = 8.7 \text{ г/см}^3$.

Рассчитаем массу бронзы, израсходованной на покрытие:

$m = 8.7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot V_{обол} \approx 8.7 \cdot 100.015 \text{ г} \approx 870.13 \text{ г}$.

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: масса бронзы, израсходованной на покрытие шара, составляет приблизительно 870,1 г.