Номер 635, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

635. Определите:

а) шар какого диаметра получится при переплавке двух чугунных шаров с диаметрами 25 см и 35 см;

б) сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска свинца массой 1 кг, учитывая, что плотность свинца равна $11,4 \text{ г/см}^3$.

а) При переплавке двух шаров в один их общий объем сохраняется. Объем нового шара будет равен сумме объемов двух исходных шаров.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус шара. Так как диаметр $d = 2r$, то $r = d/2$, и формулу для объема можно записать через диаметр: $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} = \frac{\pi d^3}{6}$.

Обозначим диаметры исходных шаров как $d_1 = 25$ см и $d_2 = 35$ см, а диаметр нового шара как $D$.

Суммарный объем исходных шаров: $V_{общий} = V_1 + V_2 = \frac{\pi d_1^3}{6} + \frac{\pi d_2^3}{6} = \frac{\pi}{6}(d_1^3 + d_2^3)$

Объем нового шара: $V_{новый} = \frac{\pi D^3}{6}$

Приравниваем объемы: $\frac{\pi D^3}{6} = \frac{\pi}{6}(d_1^3 + d_2^3)$

Отсюда следует, что $D^3 = d_1^3 + d_2^3$.

Подставляем значения диаметров: $D^3 = 25^3 + 35^3 = 15625 + 42875 = 58500$

Теперь находим диаметр $D$, извлекая кубический корень: $D = \sqrt[3]{58500} \approx 38,8$ см.

Ответ: диаметр получившегося шара составит примерно 38,8 см.

б) Сначала найдем общий объем свинца, который у нас есть. Для этого используем формулу, связывающую массу, плотность и объем: $V = \frac{m}{\rho}$.

Переведем массу свинца в граммы, чтобы единицы измерения соответствовали плотности: $m = 1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Плотность свинца дана: $\rho = 11,4 \text{ г/см}^3$.

Вычисляем общий объем свинца: $V_{общий} = \frac{1000 \text{ г}}{11,4 \text{ г/см}^3} \approx 87,72 \text{ см}^3$.

Теперь найдем объем одного свинцового шарика диаметром $d = 1$ см. Используем ту же формулу для объема шара, что и в пункте а): $V_{шарика} = \frac{\pi d^3}{6} = \frac{\pi \cdot 1^3}{6} = \frac{\pi}{6} \text{ см}^3$.

Вычислим примерное значение объема одного шарика: $V_{шарика} \approx \frac{3,1416}{6} \approx 0,5236 \text{ см}^3$.

Чтобы найти, сколько шариков можно отлить, разделим общий объем свинца на объем одного шарика: $N = \frac{V_{общий}}{V_{шарика}} = \frac{1000 / 11,4}{\pi / 6} = \frac{1000 \cdot 6}{11,4 \cdot \pi} = \frac{6000}{11,4 \pi}$.

Вычисляем значение: $N \approx \frac{6000}{11,4 \cdot 3,1416} \approx \frac{6000}{35,81424} \approx 167,53$.

Так как можно отлить только целое количество шариков, округляем полученное число в меньшую сторону.

Ответ: можно отлить 167 шариков.