Номер 642, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

642*. Найдите объем части шара, учитывая, что она заключена между:

двумя плоскостями, которые перпендикулярны диаметру шара с радиусом $R$ и разделяют диаметр на три доли;

параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, из которых плоскость $\alpha$ пересекает шар с радиусом $R$ по окружности с радиусом $r$, а плоскость $\beta$ равноотстоит от плоскости $\alpha$ и параллельной ей касательной плоскости шара.

а)

Расположим шар с радиусом $R$ в системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат $O(0,0,0)$. Пусть диаметр, о котором идет речь в задаче, лежит на оси $Ox$. Тогда концы этого диаметра будут в точках $(-R, 0, 0)$ и $(R, 0, 0)$. Длина диаметра равна $2R$.

Две перпендикулярные диаметру плоскости разделяют его на три равные доли. Длина каждой доли составляет $\frac{2R}{3}$. Следовательно, точки деления на диаметре находятся на расстоянии $\frac{2R}{3}$ и $2 \cdot \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$ от одного из концов, например, от точки $(-R, 0, 0)$. Координаты этих точек на оси $Ox$ будут:

$x_1 = -R + \frac{2R}{3} = -\frac{R}{3}$

$x_2 = -R + \frac{4R}{3} = \frac{R}{3}$

Таким образом, две плоскости задаются уравнениями $x = -\frac{R}{3}$ и $x = \frac{R}{3}$. Нам нужно найти объем части шара, заключенной между этими плоскостями. Эта часть шара представляет собой шаровой слой.

Объем шарового слоя можно найти с помощью интегрирования. Объем тела вращения, образованного вращением кривой $y=f(x)$ вокруг оси $Ox$ от $x=a$ до $x=b$, равен $V = \pi \int_a^b y^2 dx$. В нашем случае $y^2$ для сечения шара $x^2+y^2+z^2=R^2$ плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$, равно $R^2-x^2$.

$V = \int_{-R/3}^{R/3} \pi(R^2 - x^2) dx = \pi \left[R^2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R/3}^{R/3}$

$V = \pi \left( \left(R^2\left(\frac{R}{3}\right) - \frac{(R/3)^3}{3}\right) - \left(R^2\left(-\frac{R}{3}\right) - \frac{(-R/3)^3}{3}\right) \right)$

$V = \pi \left( \left(\frac{R^3}{3} - \frac{R^3}{81}\right) - \left(-\frac{R^3}{3} + \frac{R^3}{81}\right) \right) = \pi \left(\frac{2R^3}{3} - \frac{2R^3}{81}\right)$

$V = 2\pi R^3 \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{81}\right) = 2\pi R^3 \left(\frac{27-1}{81}\right) = 2\pi R^3 \frac{26}{81} = \frac{52}{81}\pi R^3$

Альтернативно, можно найти объем шарового слоя, вычтя из объема всего шара объемы двух одинаковых шаровых сегментов по краям. Высота каждого сегмента $h = R - \frac{R}{3} = \frac{2R}{3}$.

Объем шарового сегмента высотой $h$ равен $V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

$V_{сег} = \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 \left(R - \frac{2R/3}{3}\right) = \pi \frac{4R^2}{9} \left(R - \frac{2R}{9}\right) = \pi \frac{4R^2}{9} \frac{7R}{9} = \frac{28}{81}\pi R^3$.

Объем всего шара $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Искомый объем равен $V = V_{шара} - 2V_{сег} = \frac{4}{3}\pi R^3 - 2 \cdot \frac{28}{81}\pi R^3 = \frac{108}{81}\pi R^3 - \frac{56}{81}\pi R^3 = \frac{52}{81}\pi R^3$.

Ответ: $\frac{52}{81}\pi R^3$

б)

Расположим шар с радиусом $R$ в системе координат с центром в начале координат $O(0,0,0)$. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны оси $Ox$.

Плоскость $\alpha$ пересекает шар по окружности радиусом $r$. Пусть уравнение этой плоскости $x=x_1$. Радиус сечения шара $x^2+y^2+z^2=R^2$ этой плоскостью равен $\sqrt{R^2-x_1^2}$. Таким образом, $r = \sqrt{R^2-x_1^2}$, откуда $x_1^2 = R^2-r^2$. Без ограничения общности, выберем $x_1 = \sqrt{R^2-r^2}$.

Касательные плоскости, параллельные плоскости $\alpha$, имеют уравнения $x=R$ и $x=-R$. Плоскость $\beta$ равноотстоит от плоскости $\alpha$ и одной из этих касательных плоскостей. Наиболее естественная интерпретация условия — плоскость $\beta$ находится между $\alpha$ и ближайшей к ней касательной плоскостью. Так как мы выбрали $x_1 \ge 0$, ближайшая касательная плоскость — это $x=R$.

Пусть уравнение плоскости $\beta$ есть $x=x_2$. Так как она равноотстоит от $x=x_1$ и $x=R$, ее координата $x_2$ является средним арифметическим:

$x_2 = \frac{x_1+R}{2} = \frac{\sqrt{R^2-r^2}+R}{2}$.

Нам нужно найти объем шарового слоя, заключенного между плоскостями $x=x_1$ и $x=x_2$. Проще всего это сделать, представив искомый объем как разность объемов двух шаровых сегментов.

Объем шарового сегмента с высотой $h$ вычисляется по формуле $V_{сег}(h) = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Первый (больший) сегмент отсекается плоскостью $\alpha$ ($x=x_1$) и имеет высоту $h_1 = R-x_1$.

Второй (меньший) сегмент отсекается плоскостью $\beta$ ($x=x_2$) и имеет высоту $h_2 = R-x_2$.

Искомый объем $V = V_{сег}(h_1) - V_{сег}(h_2)$.

Выразим $h_2$ через $h_1$:

$h_2 = R - x_2 = R - \frac{x_1+R}{2} = \frac{2R-x_1-R}{2} = \frac{R-x_1}{2} = \frac{h_1}{2}$.

Тогда $V = V_{сег}(h_1) - V_{сег}(h_1/2)$.

$V = \pi h_1^2(R - \frac{h_1}{3}) - \pi \left(\frac{h_1}{2}\right)^2(R - \frac{h_1/2}{3})$

$V = \pi h_1^2(R - \frac{h_1}{3}) - \frac{\pi h_1^2}{4}(R - \frac{h_1}{6})$

$V = \pi h_1^2 \left[ (R - \frac{h_1}{3}) - \frac{1}{4}(R - \frac{h_1}{6}) \right] = \pi h_1^2 \left[ R - \frac{h_1}{3} - \frac{R}{4} + \frac{h_1}{24} \right]$

$V = \pi h_1^2 \left[ \frac{3R}{4} - \frac{7h_1}{24} \right] = \frac{\pi h_1^2}{24}(18R - 7h_1)$.

Теперь подставим $h_1 = R-x_1 = R-\sqrt{R^2-r^2}$:

$V = \frac{\pi}{24}(R-\sqrt{R^2-r^2})^2 (18R - 7(R-\sqrt{R^2-r^2}))$

$V = \frac{\pi}{24}(R-\sqrt{R^2-r^2})^2 (11R + 7\sqrt{R^2-r^2})$.

Раскроем скобки для получения окончательного вида. Пусть $x_1 = \sqrt{R^2-r^2}$.

$V = \frac{\pi}{24}(R-x_1)^2(11R+7x_1) = \frac{\pi}{24}(R^2-2Rx_1+x_1^2)(11R+7x_1)$

$V = \frac{\pi}{24}(11R^3 + 7R^2x_1 - 22R^2x_1 - 14Rx_1^2 + 11Rx_1^2 + 7x_1^3)$

$V = \frac{\pi}{24}(11R^3 - 15R^2x_1 - 3Rx_1^2 + 7x_1^3)$.

Подставляем $x_1^2 = R^2-r^2$ и $x_1^3 = (R^2-r^2)\sqrt{R^2-r^2}$:

$V = \frac{\pi}{24}[11R^3 - 15R^2\sqrt{R^2-r^2} - 3R(R^2-r^2) + 7(R^2-r^2)\sqrt{R^2-r^2}]$

$V = \frac{\pi}{24}[11R^3 - 3R^3 + 3Rr^2 - 15R^2\sqrt{R^2-r^2} + 7R^2\sqrt{R^2-r^2} - 7r^2\sqrt{R^2-r^2}]$

$V = \frac{\pi}{24}[8R^3 + 3Rr^2 - (8R^2 + 7r^2)\sqrt{R^2-r^2}]$.

Ответ: $\frac{\pi}{24}(R-\sqrt{R^2-r^2})^2 (11R + 7\sqrt{R^2-r^2})$, или, в развернутом виде, $\frac{\pi}{24}[8R^3 + 3Rr^2 - (8R^2 + 7r^2)\sqrt{R^2-r^2}]$