Номер 646, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

646*. Шаровой сектор получен вращением кругового сектора вокруг своей оси симметрии. Докажите, что если площадь его осевого сечения равна третьей доле площади большого круга, то его объем равен четвертой доле объема шара.

Пусть $R$ — радиус шара, из которого получен шаровой сектор. Объем этого шара равен $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$, а площадь большого круга (сечения, проходящего через центр шара) равна $S_{б.к.} = \pi R^2$.

Шаровой сектор образуется вращением кругового сектора вокруг его оси симметрии. Осевое сечение полученного шарового сектора совпадает с этим круговым сектором. Пусть центральный угол кругового сектора равен $2\alpha$. Тогда площадь осевого сечения $S_{ос}$ равна площади кругового сектора:$S_{ос} = \frac{1}{2}R^2(2\alpha) = R^2\alpha$.

По условию задачи, площадь осевого сечения равна третьей доле площади большого круга:$S_{ос} = \frac{1}{3}S_{б.к.}$Подставим выражения для площадей:$R^2\alpha = \frac{1}{3}\pi R^2$

Разделив обе части уравнения на $R^2$ (так как $R > 0$), получаем значение половины угла сектора в радианах:$\alpha = \frac{\pi}{3}$

Теперь найдем объем шарового сектора. Формула для объема шарового сектора:$V_{сект} = \frac{2}{3}\pi R^2 h$,где $h$ — высота соответствующего шарового сегмента (шапочки).

Высоту $h$ можно выразить через радиус шара $R$ и угол $\alpha$. Из геометрии сечения видно, что высота шарового сегмента равна:$h = R - R\cos(\alpha) = R(1 - \cos(\alpha))$

Мы нашли, что $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Найдем косинус этого угла:$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$Подставим это значение в формулу для высоты $h$:$h = R\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{R}{2}$

Теперь подставим найденную высоту $h$ в формулу для объема шарового сектора:$V_{сект} = \frac{2}{3}\pi R^2 h = \frac{2}{3}\pi R^2 \left(\frac{R}{2}\right) = \frac{1}{3}\pi R^3$

Нам нужно доказать, что этот объем равен четвертой доле объема шара. Сравним полученный объем с объемом шара:$\frac{V_{сект}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{4}$Следовательно, $V_{сект} = \frac{1}{4}V_{шара}$.

Таким образом, доказано, что если площадь осевого сечения шарового сектора равна третьей доле площади большого круга, то его объем равен четвертой доле объема шара.

Ответ: Что и требовалось доказать.