Номер 645, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

645*. Найдите объем шарового сектора, учитывая, что:

а) его радиус равен $r$, а угол его осевого сечения — $120^\circ$;

б) радиус окружности основания соответствующего купола равен 60 см, а радиус шара — 75 см;

в) радиус окружности основания соответствующего купола равен 100 см, а радиус шара — 125 см.

а)

Объем шарового сектора вычисляется по формуле $V = \frac{2}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего шарового сегмента (купола).

В данном случае радиус шара $R = r$, а угол осевого сечения сектора равен $\alpha = 120^\circ$.

Осевое сечение шарового сектора представляет собой круговой сектор с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$. Высота шарового сегмента $h$ связана с радиусом шара $R$ и половиной угла осевого сечения $\frac{\alpha}{2}$ соотношением:

$h = R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$

Подставим наши значения:

$R = r$

$\frac{\alpha}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Найдем высоту $h$:

$h = r(1 - \cos(60^\circ)) = r(1 - \frac{1}{2}) = \frac{r}{2}$

Теперь найдем объем шарового сектора:

$V = \frac{2}{3} \pi R^2 h = \frac{2}{3} \pi r^2 \cdot \frac{r}{2} = \frac{2 \pi r^3}{6} = \frac{\pi r^3}{3}$

Ответ: $V = \frac{\pi r^3}{3}$.

б)

Объем шарового сектора вычисляется по формуле $V = \frac{2}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего шарового сегмента.

По условию, радиус шара $R = 75$ см, а радиус окружности основания купола $r_{\text{осн}} = 60$ см.

Высоту шарового сегмента $h$ можно найти, зная $R$ и $r_{\text{осн}}$. Расстояние $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента, радиус основания $r_{\text{осн}}$ и радиус шара $R$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$d = \sqrt{R^2 - r_{\text{осн}}^2}$

Подставим значения:

$d = \sqrt{75^2 - 60^2} = \sqrt{5625 - 3600} = \sqrt{2025} = 45$ см.

Высота сегмента (купола) $h$ равна разности между радиусом шара и расстоянием $d$ (для сегмента, меньшего полусферы):

$h = R - d = 75 - 45 = 30$ см.

Теперь вычислим объем шарового сектора:

$V = \frac{2}{3} \pi R^2 h = \frac{2}{3} \pi \cdot (75^2) \cdot 30 = 2 \cdot \pi \cdot 5625 \cdot 10 = 112500 \pi$ см³.

Ответ: $112500 \pi$ см³.

в)

Решение аналогично пункту б). Используем формулу для объема шарового сектора $V = \frac{2}{3} \pi R^2 h$.

По условию, радиус шара $R = 125$ см, а радиус окружности основания купола $r_{\text{осн}} = 100$ см.

Сначала найдем расстояние $d$ от центра шара до плоскости основания сегмента по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{R^2 - r_{\text{осн}}^2} = \sqrt{125^2 - 100^2}$

Используя разность квадратов, получаем:

$d = \sqrt{(125 - 100)(125 + 100)} = \sqrt{25 \cdot 225} = \sqrt{5^2 \cdot 15^2} = 5 \cdot 15 = 75$ см.

Далее найдем высоту шарового сегмента $h$:

$h = R - d = 125 - 75 = 50$ см.

Теперь вычислим объем шарового сектора:

$V = \frac{2}{3} \pi R^2 h = \frac{2}{3} \pi \cdot (125^2) \cdot 50 = \frac{100}{3} \pi \cdot 15625 = \frac{1562500 \pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{1562500 \pi}{3}$ см³.