Номер 640, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

640*. Определите, какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, высота которого равна десятой доле диаметра шара.

640*

Для решения задачи необходимо найти отношение объема шарового сегмента к объему всего шара. Введем обозначения: $R$ – радиус шара, $D$ – диаметр шара ($D = 2R$), $h$ – высота шарового сегмента.

1. Формула объема шара:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

2. Формула объема шарового сегмента:
$V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

3. По условию задачи, высота шарового сегмента $h$ равна десятой доле диаметра шара $D$. Выразим $h$ через радиус $R$:
$h = \frac{1}{10}D = \frac{1}{10}(2R) = \frac{2R}{10} = \frac{R}{5}$

4. Теперь подставим полученное выражение для $h$ в формулу объема шарового сегмента, чтобы выразить его через $R$:
$V_{сегмента} = \pi \left(\frac{R}{5}\right)^2 \left(R - \frac{R/5}{3}\right) = \pi \frac{R^2}{25} \left(R - \frac{R}{15}\right)$
Упростим выражение в скобках:
$R - \frac{R}{15} = \frac{15R - R}{15} = \frac{14R}{15}$
Подставим обратно в формулу объема сегмента:
$V_{сегмента} = \pi \frac{R^2}{25} \cdot \frac{14R}{15} = \frac{14\pi R^3}{25 \cdot 15} = \frac{14\pi R^3}{375}$

5. Найдем, какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента. Для этого найдем отношение $\frac{V_{сегмента}}{V_{шара}}$:
$\frac{V_{сегмента}}{V_{шара}} = \frac{\frac{14\pi R^3}{375}}{\frac{4\pi R^3}{3}}$
Сократим $\pi R^3$ в числителе и знаменателе:
$\frac{14/375}{4/3} = \frac{14}{375} \cdot \frac{3}{4}$
Сократим дробь:
$\frac{14 \cdot 3}{375 \cdot 4} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot 3}{(125 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 2)} = \frac{7}{125 \cdot 2} = \frac{7}{250}$

Таким образом, объем шарового сегмента составляет $\frac{7}{250}$ от объема всего шара.

Ответ: $\frac{7}{250}$