Номер 650, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

650. Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого приставлены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента — 0,5 м. Определите, какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны была равна $50 \text{ м}^3$.

Общая вместимость (объем) цистерны $V$ складывается из объема ее цилиндрической части $V_{цил}$ и объемов двух одинаковых шаровых сегментов $V_{сег}$, приставленных к ее основаниям.

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{сег}$

Согласно условию задачи, нам даны следующие величины:

- Общая вместимость цистерны $V = 50 \text{ м}^3$.
- Радиус основания цилиндра (и основания шарового сегмента) $r = 1,5 \text{ м}$.
- Высота каждого шарового сегмента $h = 0,5 \text{ м}$.

Требуется определить длину образующей цилиндра, которая равна его высоте $L$.

1. Определение объема шаровых сегментов

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле $V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — это радиус шара, частью которого является сегмент. Для нахождения радиуса шара $R$ воспользуемся связью между $R$, высотой сегмента $h$ и радиусом его основания $r$. В осевом сечении эти величины образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это радиус шара $R$, а катеты — радиус основания сегмента $r$ и отрезок длиной $(R - h)$. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (R - h)^2$

Подставим известные значения $r = 1,5$ м и $h = 0,5$ м:

$R^2 = (1,5)^2 + (R - 0,5)^2$

$R^2 = 2,25 + R^2 - 2 \cdot R \cdot 0,5 + (0,5)^2$

$R^2 = 2,25 + R^2 - R + 0,25$

Упрощая уравнение, получаем:

$0 = 2,5 - R \implies R = 2,5 \text{ м}$.

Теперь, зная радиус шара $R$, мы можем вычислить объем одного шарового сегмента:

$V_{сег} = \pi \cdot (0,5)^2 \cdot (2,5 - \frac{0,5}{3}) = 0,25\pi \cdot (2,5 - \frac{1}{6}) = 0,25\pi \cdot (\frac{15}{6} - \frac{1}{6}) = 0,25\pi \cdot \frac{14}{6} = \frac{1}{4}\pi \cdot \frac{7}{3} = \frac{7\pi}{12} \text{ м}^3$.

Суммарный объем двух шаровых сегментов составляет:

$2 \cdot V_{сег} = 2 \cdot \frac{7\pi}{12} = \frac{7\pi}{6} \text{ м}^3$.

2. Определение длины образующей цилиндра

Объем цилиндрической части цистерны вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 L$.

$V_{цил} = \pi \cdot (1,5)^2 \cdot L = 2,25\pi L = \frac{9}{4}\pi L \text{ м}^3$.

Подставим выражения для объемов цилиндра и сегментов в формулу для общего объема цистерны:

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{сег}$

$50 = \frac{9}{4}\pi L + \frac{7\pi}{6}$

Теперь решим это уравнение относительно $L$:

$\frac{9}{4}\pi L = 50 - \frac{7\pi}{6}$

$L = \frac{4}{9\pi} \left(50 - \frac{7\pi}{6}\right)$

$L = \frac{200}{9\pi} - \frac{4 \cdot 7\pi}{9\pi \cdot 6} = \frac{200}{9\pi} - \frac{28}{54} = \frac{200}{9\pi} - \frac{14}{27}$

Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$:

$L \approx \frac{200}{9 \cdot 3,1416} - \frac{14}{27} \approx \frac{200}{28,2744} - 0,5185 \approx 7,0735 - 0,5185 \approx 6,555 \text{ м}$.

Округляя до сотых, получаем $L \approx 6,56$ м.

Ответ: Длина образующей цилиндра должна быть равна $L = \frac{200}{9\pi} - \frac{14}{27} \text{ м}$, что приблизительно составляет $6,56$ м.