Номер 629, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

629. Учитывая, что шар вписан в правильную треугольную пирамиду со стороной основания $a$ и двугранным углом при ней — $\alpha$, найдите объем шара.

Для нахождения объема вписанного шара необходимо сначала определить его радиус. Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC с основанием ABC. Сторона основания $AB = BC = CA = a$. Двугранный угол при основании равен $\alpha$.

Центр вписанного в правильную пирамиду шара находится на ее высоте. Обозначим высоту пирамиды как SO, где O — центр равностороннего треугольника ABC, который также является центром вписанной и описанной окружностей основания. Пусть I — центр вписанного шара, а R — его радиус. Точка I лежит на высоте SO. Расстояние от центра шара до каждой грани пирамиды равно радиусу R. В частности, расстояние от точки I до плоскости основания ABC равно R, то есть $IO = R$.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью основания и боковой гранью. Проведем апофему боковой грани SM (где M — середина ребра BC). Отрезок OM — это радиус окружности, вписанной в треугольник основания ($r_{осн}$). Угол SMO является линейным углом двугранного угла при основании, следовательно, $\angle SMO = \alpha$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, содержащей высоту SO и апофему SM. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник SOM (с прямым углом при вершине O). Центр вписанного шара I лежит на катете SO этого треугольника. Шар касается плоскости основания (в сечении это катет OM) и боковой грани SBC (в сечении это гипотенуза SM). Поскольку центр вписанного шара равноудален от граней, точка I равноудалена от сторон угла $\angle SMO$. Это означает, что отрезок IM является биссектрисой угла $\angle SMO$.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике IOM (с прямым углом при вершине O) угол $\angle OMI = \frac{\alpha}{2}$. В этом треугольнике катет IO равен радиусу шара R, а катет OM равен радиусу вписанной в основание окружности $r_{осн}$. Из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике имеем:
$\tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM}$
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{R}{r_{осн}}$
Отсюда находим радиус вписанного шара:
$R = r_{осн} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь найдем радиус $r_{осн}$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$. Высота такого треугольника равна $h = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Радиус вписанной окружности составляет одну треть высоты:
$r_{осн} = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставим найденное значение $r_{осн}$ в формулу для радиуса шара R:
$R = \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим в нее полученное выражение для R:
$V = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{a\sqrt{3}}{6} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3 (\sqrt{3})^3}{6^3} \cdot \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}a^3}{216} \cdot \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
Сократим числовой коэффициент:
$V = \frac{4 \cdot 3\sqrt{3}}{3 \cdot 216} \pi a^3 \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{216} \pi a^3 \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{54} \pi a^3 \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{54} \tan^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.