Номер 624, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

624. Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна $a$, а плоский угол при вершине равен $\alpha$, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину и параллельной стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения.

Пусть правильная четырехугольная пирамида имеет вершину $P$, а основание — квадрат $ABCD$. Сторона основания равна $a$. Пусть $O$ — центр основания, тогда $PO$ — высота пирамиды, обозначим ее $h$. Введем систему координат. Поместим центр основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Высоту пирамиды расположим вдоль оси $Oz$, тогда вершина $P$ будет иметь координаты $(0,0,h)$. Основание $ABCD$ лежит в плоскости $xy$. Вершины основания будут иметь координаты $A(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$, $B(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$, $C(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$, $D(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$. Ось вращения — это прямая, проходящая через вершину $P$ и параллельная стороне основания. Выберем сторону $BC$, которая параллельна оси $Oy$. Тогда ось вращения $L$ — это прямая, проходящая через точку $P(0,0,h)$ параллельно оси $Oy$. Уравнения этой прямой: $x=0, z=h$.

Объем тела вращения найдем с помощью метода сечений (принцип Кавальери). Объем вычисляется как интеграл от площади поперечного сечения:$V = \int_{-a/2}^{a/2} S(x) dx$,где $S(x)$ — площадь сечения тела вращения плоскостью $x=\text{const}$, перпендикулярной оси $Ox$ (и, следовательно, перпендикулярной оси вращения $L$).

Рассмотрим сечение исходной пирамиды плоскостью $x=x_0$ (где $-\frac{a}{2} \le x_0 \le \frac{a}{2}$). Это сечение представляет собой плоскую фигуру (трапецию). При вращении этой фигуры вокруг оси $L$ образуется сечение тела вращения $S(x_0)$.

Тело вращения, полученное при вращении сечения пирамиды $T(x_0)$ вокруг оси $L$, представляет собой кольцо (область между двумя концентрическими окружностями). Площадь этого кольца равна $S(x_0) = \pi (R_{\text{out}}^2 - R_{\text{in}}^2)$, где $R_{\text{out}}$ и $R_{\text{in}}$ — это максимальный и минимальный радиусы вращения точек сечения $T(x_0)$ вокруг оси $L$.

Расстояние от произвольной точки $(x_0, y, z)$ в сечении до оси вращения $L$ ($x=0, z=h$) равно $R = \sqrt{(x_0-0)^2 + (z-h)^2} = \sqrt{x_0^2 + (z-h)^2}$. Чтобы найти $R_{\text{out}}$ и $R_{\text{in}}$, нужно найти максимальное и минимальное значение этого расстояния для точек, принадлежащих сечению пирамиды $T(x_0)$. Это эквивалентно нахождению максимального и минимального значения величины $|z-h|$ для точек сечения.

Найдем диапазон высот $z$ для точек в сечении $x=x_0$. Пирамида ограничена плоскостью основания $z=0$ и четырьмя плоскостями боковых граней. Уравнения плоскостей граней:

• Грань $PAB$: $2hx + az = ah$
• Грань $PCD$: $-2hx + az = ah$
• Грань $PBC$: $2hy + az = ah$
• Грань $PDA$: $-2hy + az = ah$

Для любой точки $(x_0,y,z)$ внутри пирамиды ее координата $z$ должна удовлетворять $z \ge 0$ и $z \le h(1 - \frac{2|x_0|}{a})$ и $z \le h(1 - \frac{2|y|}{a})$. Следовательно, для сечения при $x=x_0$, координата $z$ изменяется в пределах от $0$ до $z_{\text{max}} = h(1 - \frac{2|x_0|}{a})$.

Функция $(z-h)^2$ на отрезке $z \in [0, h(1 - \frac{2|x_0|}{a})]$ является убывающей, так как вершина параболы находится в точке $z=h$. Следовательно, максимум $(z-h)^2$ достигается при $z=0$: $(0-h)^2 = h^2$. Минимум $(z-h)^2$ достигается при $z=z_{\text{max}}$: $(h(1 - \frac{2|x_0|}{a}) - h)^2 = (-\frac{2h|x_0|}{a})^2 = \frac{4h^2x_0^2}{a^2}$.

Теперь мы можем найти радиусы:$R_{\text{out}}^2 = x_0^2 + h^2$$R_{\text{in}}^2 = x_0^2 + \frac{4h^2x_0^2}{a^2}$

Площадь сечения $S(x_0)$ равна:$S(x_0) = \pi(R_{\text{out}}^2 - R_{\text{in}}^2) = \pi \left( (x_0^2 + h^2) - (x_0^2 + \frac{4h^2x_0^2}{a^2}) \right) = \pi \left( h^2 - \frac{4h^2x_0^2}{a^2} \right) = \pi h^2 \left( 1 - \frac{4x_0^2}{a^2} \right)$.

Вычислим объем тела вращения, интегрируя $S(x)$ по $x$ от $-a/2$ до $a/2$:$V = \int_{-a/2}^{a/2} \pi h^2 \left( 1 - \frac{4x^2}{a^2} \right) dx = \pi h^2 \left[ x - \frac{4x^3}{3a^2} \right]_{-a/2}^{a/2}$$V = \pi h^2 \left( \left(\frac{a}{2} - \frac{4(a/2)^3}{3a^2}\right) - \left(-\frac{a}{2} - \frac{4(-a/2)^3}{3a^2}\right) \right)$$V = \pi h^2 \left( 2 \left(\frac{a}{2} - \frac{4(a^3/8)}{3a^2}\right) \right) = 2\pi h^2 \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{6} \right) = 2\pi h^2 \left( \frac{2a}{6} \right) = \frac{2}{3}\pi a h^2$.

Теперь найдем $h^2$ через данные в условии $a$ и $\alpha$. Плоский угол при вершине — это угол боковой грани при вершине пирамиды, например, $\angle APB = \alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $PAB$ с основанием $AB=a$ и боковыми ребрами $PA=PB=l$. По теореме косинусов:$a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2\cos\alpha = 2l^2(1-\cos\alpha) = 4l^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$Отсюда длина бокового ребра $l = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $POA$, где $PO=h$ — высота, $OA$ — половина диагонали квадрата основания. Диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$, поэтому $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. По теореме Пифагора: $h^2 + OA^2 = l^2$.$h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2$$h^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)}$$h^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2(1 - 2\sin^2(\alpha/2))}{4\sin^2(\alpha/2)}$Используя формулу $1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \cos\alpha$, получаем:$h^2 = \frac{a^2\cos\alpha}{4\sin^2(\alpha/2)}$. Для существования пирамиды необходимо $h^2>0$, что означает $\cos\alpha>0$, т.е. $0 < \alpha < \pi/2$.

Подставим выражение для $h^2$ в формулу для объема:$V = \frac{2}{3}\pi a h^2 = \frac{2}{3}\pi a \left( \frac{a^2\cos\alpha}{4\sin^2(\alpha/2)} \right) = \frac{2\pi a^3 \cos\alpha}{12\sin^2(\alpha/2)} = \frac{\pi a^3 \cos\alpha}{6\sin^2(\alpha/2)}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \cos\alpha}{6\sin^2(\alpha/2)}$