Номер 9, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Как определяется разность векторов? Какой вектор считается нулевым?

Как определяется разность векторов?

Разность двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это операция, результатом которой является третий вектор $\vec{c}$. Существует несколько эквивалентных определений разности.

1. Алгебраическое определение: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$.

То есть, $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, если выполняется равенство $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

2. Определение через противоположный вектор: Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно определить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ (обозначается как $-\vec{b}$). Противоположный вектор $-\vec{b}$ имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.

Формула: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

3. Геометрическое построение (правило треугольника): Чтобы найти разность $\vec{a} - \vec{b}$, нужно отложить оба вектора от одной общей точки $O$. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Тогда вектор разности будет направлен от конца вычитаемого вектора ($\vec{b}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{a}$). То есть, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{BA}$.

4. В координатах: Если векторы заданы своими координатами, например, на плоскости $\vec{a} = (a_x; a_y)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y)$, то их разность — это вектор, координаты которого равны разностям соответствующих координат исходных векторов.

$\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x; a_y - b_y)$.

Ответ: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$, который равен сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. Геометрически, если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из одной точки, то вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ соединит конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$.

Какой вектор считается нулевым?

Нулевым вектором (или нуль-вектором) называется вектор, у которого точка начала совпадает с точкой конца. Он обозначается как $\vec{0}$.

Основные свойства нулевого вектора:

• Его длина (модуль) равна нулю: $|\vec{0}| = 0$.
• Нулевой вектор не имеет определенного направления (считается, что он сонаправлен с любым вектором).
• В координатной форме все его координаты равны нулю: $\vec{0} = (0; 0)$ на плоскости, $\vec{0} = (0; 0; 0)$ в пространстве.
• Прибавление нулевого вектора к любому вектору $\vec{a}$ не изменяет этот вектор: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.
• Сумма любого вектора $\vec{a}$ и противоположного ему вектора $-\vec{a}$ равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Ответ: Нулевым считается вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.