Номер 15, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

15. Как определяются координаты вектора в декартовой системе координат?

Координаты вектора в декартовой (прямоугольной) системе координат — это упорядоченный набор чисел, которые однозначно определяют направление и длину вектора относительно осей этой системы. Существует несколько взаимосвязанных способов определения этих координат.

Это наиболее распространенный практический способ нахождения координат. Если вектор $\vec{AB}$ задан своей начальной точкой $A(x_A, y_A, z_A)$ и конечной точкой $B(x_B, y_B, z_B)$, то его координаты вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

Для трехмерного пространства:

• Координата по оси Ox: $a_x = x_B - x_A$
• Координата по оси Oy: $a_y = y_B - y_A$
• Координата по оси Oz: $a_z = z_B - z_A$

Таким образом, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a_x, a_y, a_z)$, что записывается как $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

Аналогично для вектора на плоскости (в двумерной системе координат): $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$.

По определению, координаты любого вектора $\vec{a}$ равны координатам его конечной точки, при условии, что его начальная точка совмещена с началом координат $O(0, 0, 0)$. Вектор, отложенный от начала координат, называется радиус-вектором.

Если вектор $\vec{a}$ отложен от начала координат до точки $M$ с координатами $(x_M, y_M, z_M)$, то его координаты равны координатам точки $M$:

$\vec{a} = \vec{OM} = (x_M - 0, y_M - 0, z_M - 0) = (x_M, y_M, z_M)$

Этот подход является фундаментальным. Любой вектор можно перенести параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. При таком переносе координаты вектора не изменяются.

В декартовой системе координат существуют единичные векторы (орты), направленные вдоль координатных осей. Они образуют базис пространства.

• $\vec{i}$ — единичный вектор оси абсцисс (Ox), его координаты $(1, 0, 0)$.
• $\vec{j}$ — единичный вектор оси ординат (Oy), его координаты $(0, 1, 0)$.
• $\vec{k}$ — единичный вектор оси аппликат (Oz), его координаты $(0, 0, 1)$.

Любой вектор $\vec{a}$ можно единственным образом представить в виде линейной комбинации (суммы) этих базисных векторов:

$\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$

Числа (коэффициенты) $a_x, a_y, a_z$ в этом разложении и являются по определению координатами вектора $\vec{a}$. Геометрически эти координаты равны проекциям вектора $\vec{a}$ на соответствующие координатные оси.

Ответ: Координаты вектора в декартовой системе координат — это упорядоченная тройка (для пространства) или пара (для плоскости) чисел, которые определяются: 1) как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек, $\vec{a} = (x_{кон} - x_{нач}, y_{кон} - y_{нач}, z_{кон} - z_{нач})$; 2) как координаты его конечной точки, если начало вектора находится в начале координат; 3) как коэффициенты в разложении вектора по базисным ортам $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$.