Номер 18, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

18. Как определяется скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является скалярная величина (число). Существует два основных, эквивалентных друг другу определения.

Геометрическое определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла $\alpha$ между ними. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

Это определение выражается следующей формулой:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Из этого определения следует, что если векторы перпендикулярны (ортогональны), то угол между ними равен $90^\circ$, $\cos(90^\circ) = 0$, и их скалярное произведение равно нулю. Если векторы сонаправлены, угол равен $0^\circ$, $\cos(0^\circ) = 1$, и скалярное произведение равно произведению их длин.

Ответ: Геометрически скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$.

Алгебраическое определение (через координаты)

В ортонормированной (например, прямоугольной декартовой) системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Если заданы два вектора своими координатами:
- на плоскости: $\vec{a} = (x_a, y_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b)$, то их скалярное произведение равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$.
- в трехмерном пространстве: $\vec{a} = (x_a, y_a, z_a)$ и $\vec{b} = (x_b, y_b, z_b)$, то их скалярное произведение равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$.

В общем виде для векторов в n-мерном пространстве $\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$ формула выглядит так:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$

Ответ: Алгебраически скалярное произведение векторов $\vec{a}=(a_1, a_2, ..., a_n)$ и $\vec{b}=(b_1, b_2, ..., b_n)$ в ортонормированном базисе определяется как сумма произведений их соответствующих координат: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$.