Номер 25, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

25. Как можно найти угол между прямыми, каждая из которых проходит через две точки с известными координатами?

Чтобы найти угол между двумя прямыми, каждая из которых задана двумя точками, можно использовать несколько подходов. Наиболее универсальным является метод с использованием направляющих векторов, который работает как в двумерном, так и в трехмерном пространстве. Для задач на плоскости также удобен метод с использованием угловых коэффициентов.

Способ 1: Через направляющие векторы (общий случай для 2D и 3D)

Этот метод основан на том, что угол между прямыми равен острому углу между их направляющими векторами.

1. Находим координаты направляющих векторов.

   Пусть первая прямая $l_1$ проходит через точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$. Тогда ее направляющий вектор $\vec{v_1}$ можно найти, вычтя координаты одной точки из другой:

   $\vec{v_1} = \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. Обозначим его координаты как $\vec{v_1} = (a_1, b_1, c_1)$.

   Аналогично, пусть вторая прямая $l_2$ проходит через точки $C(x_3, y_3, z_3)$ и $D(x_4, y_4, z_4)$. Ее направляющий вектор $\vec{v_2}$:

   $\vec{v_2} = \vec{CD} = (x_4 - x_3, y_4 - y_3, z_4 - z_3)$. Обозначим его координаты как $\vec{v_2} = (a_2, b_2, c_2)$.

   (Для случая на плоскости (2D) все z-координаты просто равны нулю).

2. Вычисляем косинус угла между векторами.

   Косинус острого угла $\theta$ между прямыми находится через скалярное произведение их направляющих векторов по формуле:

   $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

   где $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}$ — скалярное произведение, а $|\vec{v}|$ — модуль (длина) вектора. Модуль в числителе гарантирует, что мы получим острый угол ($0 \le \theta \le 90^\circ$).

   В координатной форме формула выглядит так:

   $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$

3. Находим сам угол.

   Зная косинус угла, сам угол $\theta$ находим с помощью функции арккосинуса:

   $\theta = \arccos\left(\frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\right)$

Ответ: Угол $\theta$ между прямыми находится по следующему алгоритму: 1. По координатам двух точек для каждой прямой найти ее направляющий вектор $\vec{v_1}=(a_1, b_1, c_1)$ и $\vec{v_2}=(a_2, b_2, c_2)$. 2. Вычислить косинус угла по формуле $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$. 3. Найти угол, взяв арккосинус от полученного значения.

Способ 2: Через угловые коэффициенты (только для случая на плоскости)

Этот метод применим, когда прямые лежат на координатной плоскости (в 2D) и не являются вертикальными.

1. Находим угловые коэффициенты прямых.

   Угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси Ox) для прямой, проходящей через точки $(x_a, y_a)$ и $(x_b, y_b)$, вычисляется как $k = \frac{y_b - y_a}{x_b - x_a}$.

   Пусть первая прямая $l_1$ проходит через точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Ее угловой коэффициент:

   $k_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

   Пусть вторая прямая $l_2$ проходит через точки $C(x_3, y_3)$ и $D(x_4, y_4)$. Ее угловой коэффициент:

   $k_2 = \frac{y_4 - y_3}{x_4 - x_3}$

   (Метод не работает, если одна из прямых вертикальна, т.е. $x_2 - x_1 = 0$ или $x_4 - x_3 = 0$, так как ее угловой коэффициент не определен).

2. Вычисляем угол по формуле.

   Тангенс острого угла $\theta$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле:

   $\tan \theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

3. Находим сам угол.

   Угол $\theta$ вычисляется с помощью функции арктангенса:

   $\theta = \arctan\left(\left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|\right)$

   Частные случаи:
   • Если прямые параллельны, то $k_1 = k_2$, числитель равен нулю, и угол $\theta = 0$.
   • Если прямые перпендикулярны, то $k_1 k_2 = -1$, знаменатель равен нулю, что соответствует $\tan \theta \to \infty$ и углу $\theta = 90^\circ$.

Ответ: Для случая на плоскости угол $\theta$ можно найти так: 1. По координатам точек найти угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ для каждой прямой. 2. Вычислить тангенс угла по формуле $\tan \theta = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$. 3. Найти угол, взяв арктангенс от полученного значения.