Номер 27, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

27. Как можно найти угол между плоскостью, заданной своим уравнением, и прямой, проходящей через две точки с известными координатами?

Для нахождения угла между плоскостью, заданной своим уравнением, и прямой, проходящей через две точки, необходимо использовать векторный метод. Алгоритм решения состоит из следующих шагов:

1. Определение вектора нормали к плоскости

Пусть плоскость задана своим общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор нормали (то есть вектор, перпендикулярный плоскости) $\vec{n}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$ в уравнении плоскости.

$\vec{n} = \{A, B, C\}$

2. Определение направляющего вектора прямой

Прямая проходит через две точки с известными координатами, $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$. Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ — это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Проще всего его найти как вектор, соединяющий точки $M_1$ и $M_2$.

$\vec{s} = \vec{M_1M_2} = \{x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1\}$

3. Нахождение угла через векторы

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью — это по определению угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Этот угол $\alpha$ связан с углом $\beta$ между направляющим вектором прямой $\vec{s}$ и вектором нормали к плоскости $\vec{n}$.

Поскольку вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен плоскости, сумма угла $\alpha$ и угла $\beta$ составляет $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). То есть, $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Из этого тригонометрического соотношения следует, что $\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha) = \cos(\beta)$. Таким образом, чтобы найти синус искомого угла $\alpha$, нам нужно найти косинус угла $\beta$ между векторами $\vec{n}$ и $\vec{s}$.

4. Расчет по формуле

Косинус угла $\beta$ между двумя векторами вычисляется по формуле через их скалярное произведение и длины (модули):

$\cos(\beta) = \frac{\vec{n} \cdot \vec{s}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|}$

Так как угол между прямой и плоскостью обычно ищется как острый угол ($0 \le \alpha \le 90^\circ$), то его синус будет неотрицательным. Поэтому мы берем модуль от скалярного произведения:

$\sin(\alpha) = |\cos(\beta)| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|}$

Подставляя координаты векторов, получаем финальную формулу:

$\sin(\alpha) = \frac{|A(x_2 - x_1) + B(y_2 - y_1) + C(z_2 - z_1)|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}$

Сам угол $\alpha$ находится путем вычисления арксинуса от полученного значения.

Ответ: Угол $\alpha$ между плоскостью $Ax + By + Cz + D = 0$ и прямой, проходящей через точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, находится по формуле:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{|A(x_2 - x_1) + B(y_2 - y_1) + C(z_2 - z_1)|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\right)$.