Номер 657, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

657. Найдите координаты центра и радиус сферы, описанной около тре- угольной пирамиды $ABCD$, вершины которой имеют координаты $A (5; 0; 7)$, $B (5; 5; 4)$, $C (-7; 5; 4)$ и $D (-7; 0; 4)$.

Пусть центр описанной сферы имеет координаты $O(x; y; z)$, а ее радиус равен $R$. По определению, центр сферы равноудален от всех ее точек, следовательно, расстояния от центра $O$ до каждой из вершин пирамиды $A, B, C, D$ равны радиусу $R$.

Это можно записать в виде равенства квадратов расстояний:

$OA^2 = OB^2 = OC^2 = OD^2 = R^2$

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Запишем выражения для квадратов расстояний от центра $O(x; y; z)$ до вершин:

• $A(5; 0; 7) \implies OA^2 = (x-5)^2 + (y-0)^2 + (z-7)^2 = (x-5)^2 + y^2 + (z-7)^2$
• $B(5; 5; 4) \implies OB^2 = (x-5)^2 + (y-5)^2 + (z-4)^2$
• $C(-7; 5; 4) \implies OC^2 = (x-(-7))^2 + (y-5)^2 + (z-4)^2 = (x+7)^2 + (y-5)^2 + (z-4)^2$
• $D(-7; 0; 4) \implies OD^2 = (x-(-7))^2 + (y-0)^2 + (z-4)^2 = (x+7)^2 + y^2 + (z-4)^2$

Составим систему уравнений, приравнивая эти выражения.

Нахождение координат центра сферы

1. Приравняем $OB^2$ и $OC^2$, так как у них много одинаковых членов:

$(x-5)^2 + (y-5)^2 + (z-4)^2 = (x+7)^2 + (y-5)^2 + (z-4)^2$

Сокращаем одинаковые члены $(y-5)^2$ и $(z-4)^2$:

$(x-5)^2 = (x+7)^2$

$x^2 - 10x + 25 = x^2 + 14x + 49$

$-10x - 14x = 49 - 25$

$-24x = 24$

$x = -1$

2. Теперь приравняем $OC^2$ и $OD^2$:

$(x+7)^2 + (y-5)^2 + (z-4)^2 = (x+7)^2 + y^2 + (z-4)^2$

Сокращаем $(x+7)^2$ и $(z-4)^2$:

$(y-5)^2 = y^2$

$y^2 - 10y + 25 = y^2$

$-10y = -25$

$y = 2.5$

3. Наконец, приравняем $OA^2$ и $OB^2$, чтобы найти $z$:

$(x-5)^2 + y^2 + (z-7)^2 = (x-5)^2 + (y-5)^2 + (z-4)^2$

Сокращаем $(x-5)^2$:

$y^2 + (z-7)^2 = (y-5)^2 + (z-4)^2$

Раскроем скобки:

$y^2 + z^2 - 14z + 49 = y^2 - 10y + 25 + z^2 - 8z + 16$

Сокращаем $y^2$ и $z^2$:

$-14z + 49 = -10y - 8z + 41$

Перенесем члены с $z$ в одну сторону, а с $y$ и константы в другую:

$10y - 14z + 8z = 41 - 49$

$10y - 6z = -8$

Подставим уже найденное значение $y = 2.5$:

$10(2.5) - 6z = -8$

$25 - 6z = -8$

$-6z = -8 - 25$

$-6z = -33$

$z = \frac{-33}{-6} = 5.5$

Таким образом, координаты центра сферы $O(-1; 2.5; 5.5)$.

Нахождение радиуса сферы

Радиус $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин. Найдем квадрат радиуса, используя координаты точки $A(5; 0; 7)$ и центра $O(-1; 2.5; 5.5)$:

$R^2 = OA^2 = (x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2 + (z_A - z_O)^2$

$R^2 = (5 - (-1))^2 + (0 - 2.5)^2 + (7 - 5.5)^2$

$R^2 = (6)^2 + (-2.5)^2 + (1.5)^2$

$R^2 = 36 + 6.25 + 2.25$

$R^2 = 44.5$

Радиус равен корню из этого значения:

$R = \sqrt{44.5} = \sqrt{\frac{89}{2}} = \frac{\sqrt{178}}{2}$

Ответ: Координаты центра сферы: $O(-1; 2.5; 5.5)$, радиус сферы: $R = \sqrt{44.5}$.