Номер 655, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

655. На координатных осях найдите точки, расположенные на расстоянии $d$ от точки $K(5; 4; -3)$, если:

а) $d = 10$;

б) $d = 7$;

в) $d = 13$.

Для решения задачи воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Расстояние $d$ между точкой $K(x_k, y_k, z_k)$ и искомой точкой $P(x_p, y_p, z_p)$ вычисляется как $d = \sqrt{(x_p - x_k)^2 + (y_p - y_k)^2 + (z_p - z_k)^2}$. В нашем случае точка $K$ имеет координаты $(5; 4; -3)$.

Мы ищем точки на координатных осях. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Если точка $P_x$ лежит на оси Ox, ее координаты $(x; 0; 0)$.
   Тогда квадрат расстояния $d^2 = (x-5)^2 + (0-4)^2 + (0-(-3))^2 = (x-5)^2 + 16 + 9 = (x-5)^2 + 25$.
2. Если точка $P_y$ лежит на оси Oy, ее координаты $(0; y; 0)$.
   Тогда квадрат расстояния $d^2 = (0-5)^2 + (y-4)^2 + (0-(-3))^2 = 25 + (y-4)^2 + 9 = (y-4)^2 + 34$.
3. Если точка $P_z$ лежит на оси Oz, ее координаты $(0; 0; z)$.
   Тогда квадрат расстояния $d^2 = (0-5)^2 + (0-4)^2 + (z-(-3))^2 = 25 + 16 + (z+3)^2 = (z+3)^2 + 41$.

Теперь решим задачу для каждого значения $d$.

а) $d = 10$

В этом случае $d^2 = 100$.

1. На оси Ox:
$(x-5)^2 + 25 = 100$
$(x-5)^2 = 75$
$x-5 = \pm\sqrt{75} = \pm 5\sqrt{3}$
$x = 5 \pm 5\sqrt{3}$
Найдены две точки: $(5 + 5\sqrt{3}; 0; 0)$ и $(5 - 5\sqrt{3}; 0; 0)$.

2. На оси Oy:
$(y-4)^2 + 34 = 100$
$(y-4)^2 = 66$
$y-4 = \pm\sqrt{66}$
$y = 4 \pm \sqrt{66}$
Найдены две точки: $(0; 4 + \sqrt{66}; 0)$ и $(0; 4 - \sqrt{66}; 0)$.

3. На оси Oz:
$(z+3)^2 + 41 = 100$
$(z+3)^2 = 59$
$z+3 = \pm\sqrt{59}$
$z = -3 \pm \sqrt{59}$
Найдены две точки: $(0; 0; -3 + \sqrt{59})$ и $(0; 0; -3 - \sqrt{59})$.

Ответ: на оси Ox: $(5 \pm 5\sqrt{3}; 0; 0)$; на оси Oy: $(0; 4 \pm \sqrt{66}; 0)$; на оси Oz: $(0; 0; -3 \pm \sqrt{59})$.

б) $d = 7$

В этом случае $d^2 = 49$.

1. На оси Ox:
$(x-5)^2 + 25 = 49$
$(x-5)^2 = 24$
$x-5 = \pm\sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$
$x = 5 \pm 2\sqrt{6}$
Найдены две точки: $(5 + 2\sqrt{6}; 0; 0)$ и $(5 - 2\sqrt{6}; 0; 0)$.

2. На оси Oy:
$(y-4)^2 + 34 = 49$
$(y-4)^2 = 15$
$y-4 = \pm\sqrt{15}$
$y = 4 \pm \sqrt{15}$
Найдены две точки: $(0; 4 + \sqrt{15}; 0)$ и $(0; 4 - \sqrt{15}; 0)$.

3. На оси Oz:
$(z+3)^2 + 41 = 49$
$(z+3)^2 = 8$
$z+3 = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$
$z = -3 \pm 2\sqrt{2}$
Найдены две точки: $(0; 0; -3 + 2\sqrt{2})$ и $(0; 0; -3 - 2\sqrt{2})$.

Ответ: на оси Ox: $(5 \pm 2\sqrt{6}; 0; 0)$; на оси Oy: $(0; 4 \pm \sqrt{15}; 0)$; на оси Oz: $(0; 0; -3 \pm 2\sqrt{2})$.

в) $d = 13$

В этом случае $d^2 = 169$.

1. На оси Ox:
$(x-5)^2 + 25 = 169$
$(x-5)^2 = 144$
$x-5 = \pm\sqrt{144} = \pm 12$
$x_1 = 5 + 12 = 17$, $x_2 = 5 - 12 = -7$
Найдены две точки: $(17; 0; 0)$ и $(-7; 0; 0)$.

2. На оси Oy:
$(y-4)^2 + 34 = 169$
$(y-4)^2 = 135$
$y-4 = \pm\sqrt{135} = \pm 3\sqrt{15}$
$y = 4 \pm 3\sqrt{15}$
Найдены две точки: $(0; 4 + 3\sqrt{15}; 0)$ и $(0; 4 - 3\sqrt{15}; 0)$.

3. На оси Oz:
$(z+3)^2 + 41 = 169$
$(z+3)^2 = 128$
$z+3 = \pm\sqrt{128} = \pm 8\sqrt{2}$
$z = -3 \pm 8\sqrt{2}$
Найдены две точки: $(0; 0; -3 + 8\sqrt{2})$ и $(0; 0; -3 - 8\sqrt{2})$.

Ответ: на оси Ox: $(17; 0; 0)$ и $(-7; 0; 0)$; на оси Oy: $(0; 4 \pm 3\sqrt{15}; 0)$; на оси Oz: $(0; 0; -3 \pm 8\sqrt{2})$.