Номер 26, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

26. Как можно найти угол между двумя плоскостями, которые заданы своими уравнениями?

26. Угол между двумя плоскостями по определению является углом между их нормальными векторами. Поэтому задача нахождения угла между плоскостями, заданными уравнениями, сводится к нахождению их нормальных векторов и вычислению угла между этими векторами.

Пусть даны две плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ своими общими уравнениями:
$\Pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
$\Pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

Из общего уравнения плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ следует, что вектор с координатами, равными коэффициентам при переменных, является ее нормальным вектором (т.е. вектором, перпендикулярным плоскости). Таким образом, нормальные векторы для наших плоскостей имеют следующие координаты:
$\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$
$\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$

Косинус угла $\varphi$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами. Модуль используется для того, чтобы найти острый угол между плоскостями ($0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$). Косинус угла между векторами вычисляется через их скалярное произведение и длины (модули):

$\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Распишем эту формулу в координатах:
1. Скалярное произведение векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2$.
2. Модуль (длина) вектора $\vec{n_1}$: $|\vec{n_1}| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}$.
3. Модуль (длина) вектора $\vec{n_2}$: $|\vec{n_2}| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}$.

Подставив эти выражения в формулу для косинуса, получим итоговую формулу для нахождения угла между плоскостями:

$\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Сам угол $\varphi$ находится путем вычисления арккосинуса от полученного значения.

Ответ: Угол $\varphi$ между плоскостями, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, находится как угол между их нормальными векторами $\vec{n_1}=(A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2, C_2)$ по формуле:$\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$.