Номер 19, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Скалярное произведение векторов, обозначаемое как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$, обладает следующими основными свойствами, где $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ — векторы, а $k$ — скаляр (число).

1. Коммутативность (переместительное свойство)

Скалярное произведение не зависит от порядка векторов-сомножителей. Это означает, что результат умножения вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ тот же самый, что и результат умножения вектора $\vec{b}$ на вектор $\vec{a}$.

Математически это свойство выражается формулой:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

Это следует как из геометрического определения ($\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$), так и из координатного (например, для 2D-векторов $\vec{a}=\{a_x; a_y\}$ и $\vec{b}=\{b_x; b_y\}$, произведение равно $a_x b_x + a_y b_y$, а от перестановки множителей в слагаемых сумма не меняется).

Ответ: Скалярное произведение коммутативно.

2. Дистрибутивность относительно сложения векторов (распределительное свойство)

Скалярное произведение суммы векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений каждого из векторов-слагаемых на этот третий вектор.

Математически это свойство выражается формулой:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

Это свойство позволяет "раскрывать скобки" так же, как и в обычной алгебре чисел, что упрощает многие вычисления.

Ответ: Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов.

3. Сочетательное свойство относительно умножения на скаляр

При умножении скалярного произведения на число (скаляр), можно умножить на это число любой из векторов-сомножителей до вычисления произведения, и результат будет тем же.

Математически это свойство выражается формулой:

$(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Это позволяет выносить скалярный множитель за знак скалярного произведения.

Ответ: Скалярное произведение обладает сочетательным свойством по отношению к скалярному множителю.

4. Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат)

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля).

Математически это свойство выражается формулой:

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Из этого следует, что скалярный квадрат вектора всегда неотрицателен: $\vec{a} \cdot \vec{a} \ge 0$. Равенство нулю достигается только в том случае, если вектор является нулевым ($\vec{a} = \vec{0}$).

Ответ: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

5. Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов

Два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Математически это свойство выражается так:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$ (при условии, что $\vec{a} \neq \vec{0}$ и $\vec{b} \neq \vec{0}$)

Это следует из определения скалярного произведения через косинус угла между векторами: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$. Произведение равно нулю, если $\cos(\theta) = 0$, что соответствует углу $\theta = 90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).

Ответ: Нулевое значение скалярного произведения является критерием перпендикулярности ненулевых векторов.