Номер 17, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

17. Как найти координаты суммы данных векторов; произведения данного вектора на число?

Координаты суммы данных векторов

Чтобы найти координаты суммы двух или более векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты. Иными словами, каждая координата результирующего вектора равна сумме соответствующих координат исходных векторов.

Пусть даны два вектора $\vec{a}$ с координатами $(x_1; y_1)$ и $\vec{b}$ с координатами $(x_2; y_2)$. Их сумма, вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, будет иметь следующие координаты:

$\vec{c} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$

Это правило справедливо и для векторов в трехмерном пространстве. Если $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$, то их сумма вычисляется так:

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$

Пример. Найдем сумму векторов $\vec{m} = (3; -1)$ и $\vec{n} = (1; 5)$.

Решение: $\vec{m} + \vec{n} = (3 + 1; -1 + 5) = (4; 4)$.

Ответ: Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Произведение данного вектора на число

Чтобы найти координаты произведения вектора на число (также называемое скаляром), необходимо каждую координату исходного вектора умножить на это число.

Пусть дан вектор $\vec{a}$ с координатами $(x; y)$ и некоторое число $k$. Произведение вектора $\vec{a}$ на число $k$ есть новый вектор $\vec{d} = k\vec{a}$, координаты которого вычисляются по формуле:

$\vec{d} = (k \cdot x; k \cdot y)$

Аналогично для вектора в трехмерном пространстве $\vec{a} = (x; y; z)$:

$k\vec{a} = (k \cdot x; k \cdot y; k \cdot z)$

Пример. Найдем координаты вектора $-2\vec{p}$, если $\vec{p} = (5; -4; 1)$.

Решение: $-2\vec{p} = (-2 \cdot 5; -2 \cdot (-4); -2 \cdot 1) = (-10; 8; -2)$.

Ответ: Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.