Номер 20, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

20. Сформулируйте признак перпендикулярности двух векторов.

Признак перпендикулярности (или ортогональности) двух векторов является одним из фундаментальных понятий в векторной алгебре и напрямую связан с определением скалярного произведения.

Формулировка признака

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Математически это записывается так: для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ условие их перпендикулярности ($\vec{a} \perp \vec{b}$) эквивалентно равенству:$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $$Это условие является необходимым и достаточным.

Обоснование признака

Обоснование следует непосредственно из геометрического определения скалярного произведения. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин (модулей) на косинус угла $\theta$ между ними:$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) $$где $0 \le \theta \le 180^\circ$.

Необходимость: Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, то по определению угол между ними $\theta = 90^\circ$. Косинус этого угла равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$. Подставляя это значение в формулу, получаем:$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0 $$Таким образом, скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Достаточность: Пусть скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Это означает, что:$$ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) = 0 $$Поскольку векторы по условию ненулевые, их длины $|\vec{a}| \neq 0$ и $|\vec{b}| \neq 0$. Следовательно, произведение длин $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ также отлично от нуля. Чтобы всё выражение было равно нулю, необходимо, чтобы множитель $\cos(\theta)$ был равен нулю. Единственный угол $\theta$ в диапазоне $[0^\circ, 180^\circ]$, для которого $\cos(\theta) = 0$, — это $\theta = 90^\circ$. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Примечание: Нулевой вектор $\vec{0}$ считается ортогональным любому вектору, так как его скалярное произведение с любым вектором всегда равно нулю.

Признак перпендикулярности в координатах

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. Отсюда следует признак перпендикулярности в координатной форме.

Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$, условие перпендикулярности имеет вид:$$ x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 $$

Для векторов в пространстве $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, условие перпендикулярности имеет вид:$$ x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0 $$

Ответ: Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. В координатной форме для векторов $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ это условие записывается как $x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0$.