Номер 21, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

21. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

Скалярное произведение двух векторов, заданных в ортонормированной (прямоугольной декартовой) системе координат, равно сумме произведений их соответствующих координат.

Пусть даны два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

• Если векторы заданы на плоскости (в двумерном пространстве) своими координатами $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$, то их скалярное произведение, обозначаемое как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$, вычисляется по формуле:
  $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
• Если векторы заданы в пространстве (в трехмерном пространстве) своими координатами $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
  $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Эта формула является следствием из определения скалярного произведения через косинус угла и теоремы косинусов. Ниже приведен вывод этой формулы на примере векторов на плоскости.

По определению, скалярное произведение есть произведение модулей (длин) векторов на косинус угла $\gamma$ между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\gamma$

Рассмотрим треугольник, образованный векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ (вектор, соединяющий концы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных от одной точки). По теореме косинусов для этого треугольника:

$|\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\gamma$

Заменяя $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\gamma$ на $\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $|\vec{c}|^2$ на $|\vec{a}-\vec{b}|^2$, получаем:

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Отсюда можно выразить скалярное произведение:

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{a}-\vec{b}|^2$

Теперь необходимо расписать квадраты модулей векторов через их координаты. Пусть $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$, $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$, тогда вектор разности $\vec{a}-\vec{b}$ имеет координаты $\{x_1-x_2; y_1-y_2\}$.

$|\vec{a}|^2 = x_1^2 + y_1^2$

$|\vec{b}|^2 = x_2^2 + y_2^2$

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2$

Подставим полученные выражения в формулу для $2(\vec{a} \cdot \vec{b})$:

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) - (x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в правой части. Большинство членов взаимно уничтожаются:

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2 - y_1^2 + 2y_1y_2 - y_2^2 = 2x_1x_2 + 2y_1y_2$

Разделив обе части равенства на 2, получаем искомую формулу для скалярного произведения на плоскости:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

Доказательство для трехмерного случая полностью аналогично, к каждой сумме лишь добавляется слагаемое, соответствующее координате $z$.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2; y_2; z_2\}$ через их координаты выражается как сумма произведений соответствующих координат: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. В частном случае для векторов на плоскости ($\vec{a}=\{x_1; y_1\}, \vec{b}=\{x_2; y_2\}$) формула имеет вид: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.