Номер 24, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

24. Как найти расстояние от заданной своими координатами точки до плоскости, заданной своим уравнением?

Для нахождения расстояния от точки с заданными координатами до плоскости, заданной своим уравнением, используется формула, которая выводится из геометрического смысла скалярного произведения векторов.

Вывод формулы и алгоритм вычисления

Пусть дана точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и плоскость $\alpha$, заданная общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

1. Нормальный вектор. Из общего уравнения плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ следует, что вектор $\vec{n} = \{A, B, C\}$ перпендикулярен (нормален) к этой плоскости.

2. Вспомогательная точка. Выберем на плоскости $\alpha$ произвольную точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$. Поскольку точка $M_1$ лежит на плоскости, её координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0$.

3. Вектор между точками. Рассмотрим вектор $\vec{M_1M_0}$, соединяющий точку $M_1$ на плоскости и заданную точку $M_0$. Его координаты: $\vec{M_1M_0} = \{x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1\}$.

4. Проекция вектора. Искомое расстояние $d$ равно модулю проекции вектора $\vec{M_1M_0}$ на нормальный вектор $\vec{n}$. Проекция вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ вычисляется как $Пр_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$.

Следовательно, $d = |Пр_{\vec{n}}\vec{M_1M_0}| = \frac{|\vec{M_1M_0} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$.

5. Вычисление скалярного произведения.
$\vec{M_1M_0} \cdot \vec{n} = A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) + C(z_0 - z_1)$
$= Ax_0 + By_0 + Cz_0 - (Ax_1 + By_1 + Cz_1)$
Так как $Ax_1 + By_1 + Cz_1 = -D$, получаем:
$= Ax_0 + By_0 + Cz_0 - (-D) = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$.

6. Вычисление модуля нормального вектора.
$|\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$.

7. Итоговая формула. Подставляя результаты шагов 5 и 6 в формулу из шага 4, получаем формулу для расстояния от точки до плоскости:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Алгоритм вычисления на примере

Требуется найти расстояние от точки $M_0(1, -2, 4)$ до плоскости $2x - 2y + z - 11 = 0$.

Решение:
1. Координаты точки: $x_0=1, y_0=-2, z_0=4$.
2. Коэффициенты уравнения плоскости: $A=2, B=-2, C=1, D=-11$.
3. Подставляем эти числа в формулу и производим вычисления:
$d = \frac{|2 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 4 - 11|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$d = \frac{|2 + 4 + 4 - 11|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$

Ответ: Расстояние от точки $M_0(1, -2, 4)$ до плоскости $2x - 2y + z - 11 = 0$ равно $\frac{1}{3}$.

Ответ: Чтобы найти расстояние от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, необходимо подставить координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в формулу: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.