Номер 23, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

23. Разъясните предложение «Плоскость $\beta$ имеет уравнение $ax + by + cz + d = 0$». Какой смысл имеет тройка чисел $(a; b; c)$?

Разъясните предложение «Плоскость β имеет уравнение $ax + by + cz + d = 0$».
Это предложение означает, что в трехмерной прямоугольной декартовой системе координат задана плоскость β, и любая точка $M(x; y; z)$, принадлежащая этой плоскости, имеет координаты, которые удовлетворяют указанному линейному уравнению. И наоборот, любое решение $(x, y, z)$ этого уравнения представляет собой координаты точки, лежащей на плоскости β.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости. В нем:

• $x, y, z$ — переменные, соответствующие координатам точек в пространстве.
• $a, b, c, d$ — постоянные числовые коэффициенты, которые определяют конкретную плоскость.

Для того чтобы это уравнение действительно задавало плоскость, необходимо, чтобы хотя бы один из коэффициентов $a, b$ или $c$ был отличен от нуля. То есть $a^2 + b^2 + c^2 \neq 0$. Если $a=b=c=0$, уравнение вырождается (в $d=0$ или $d \neq 0$) и не определяет плоскость. Коэффициент $d$ влияет на положение плоскости относительно начала координат. Если $d=0$, плоскость проходит через начало координат.

Ответ: Утверждение означает, что множество всех точек пространства, координаты $(x; y; z)$ которых являются решением уравнения $ax + by + cz + d = 0$, образуют плоскость β.

Какой смысл имеет тройка чисел $(a; b; c)$?
Тройка чисел $(a; b; c)$ представляет собой координаты вектора нормали (или нормального вектора) $\vec{n}$ к плоскости β. Вектор нормали — это любой ненулевой вектор, который перпендикулярен (ортогонален) данной плоскости. Таким образом, тройка $(a; b; c)$ определяет ориентацию плоскости в пространстве.

Докажем это.
Пусть на плоскости β лежат две различные точки $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и $M_1(x_1; y_1; z_1)$. Их координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
1) $ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0$
2) $ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0$

Вычтем из второго уравнения первое:
$a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) + c(z_1 - z_0) = 0$

Вектор $\vec{M_0M_1}$ с началом в точке $M_0$ и концом в точке $M_1$ имеет координаты $\vec{M_0M_1} = (x_1 - x_0; y_1 - y_0; z_1 - z_0)$. Этот вектор лежит в плоскости β, так как обе его точки принадлежат ей.

Рассмотрим вектор $\vec{n}$ с координатами $(a; b; c)$. Левая часть полученного выше равенства является скалярным произведением векторов $\vec{n}$ и $\vec{M_0M_1}$:
$\vec{n} \cdot \vec{M_0M_1} = a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) + c(z_1 - z_0)$

Так как это скалярное произведение равно нулю ($\vec{n} \cdot \vec{M_0M_1} = 0$), то векторы $\vec{n}$ и $\vec{M_0M_1}$ перпендикулярны. Поскольку точки $M_0$ и $M_1$ были выбраны на плоскости произвольно, это означает, что вектор $\vec{n} = (a; b; c)$ перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости β. Следовательно, $\vec{n}$ является вектором нормали к плоскости β.

Ответ: Тройка чисел $(a; b; c)$ — это координаты вектора нормали $\vec{n}$, который перпендикулярен плоскости β.