Номер 28, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

28. Как можно найти расстояние от данной точки до прямой, проходящей через две точки с известными координатами?

Для нахождения расстояния от данной точки до прямой, проходящей через две другие точки, можно использовать несколько методов. Рассмотрим два основных подхода: геометрический (через площадь треугольника) и алгебраический (через уравнение прямой).

Пусть нам дана точка $M_0(x_0, y_0)$ и прямая, проходящая через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$. Искомое расстояние $d$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M_0$ на прямую, содержащую отрезок $M_1M_2$.

Способ 1: Геометрический метод (через площадь треугольника)

Этот метод основан на том, что искомое расстояние является высотой треугольника, образованного тремя точками.

1. Рассмотрим три точки $M_0, M_1, M_2$. Они образуют треугольник $\triangle M_0M_1M_2$ (если не лежат на одной прямой). Искомое расстояние $d$ от точки $M_0$ до прямой $M_1M_2$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $M_0$ на основание $M_1M_2$.
2. Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d$, где $a$ – длина основания, а $d$ – высота. Отсюда высота $d = \frac{2S}{a}$.
3. Вычислим площадь треугольника $\triangle M_0M_1M_2$ по координатам его вершин: $S = \frac{1}{2} |(x_1 - x_0)(y_2 - y_0) - (x_2 - x_0)(y_1 - y_0)|$.
4. Вычислим длину основания $a$ (расстояние между точками $M_1$ и $M_2$): $a = |\vec{M_1M_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
5. Подставив выражения для $S$ и $a$ в формулу для $d$, получим искомое расстояние.

Способ 2: Алгебраический метод (через уравнение прямой)

Этот метод заключается в последовательном нахождении уравнения прямой и затем использовании формулы расстояния от точки до прямой.

1. Сначала составим уравнение прямой, проходящей через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$. Каноническое уравнение прямой имеет вид: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
2. Преобразуем это уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$. Для этого раскроем пропорцию: $(x - x_1)(y_2 - y_1) = (y - y_1)(x_2 - x_1)$, что приводит к уравнению $(y_2 - y_1)x + (x_1 - x_2)y + (x_2y_1 - x_1y_2) = 0$. Отсюда коэффициенты общего уравнения равны: $A = y_2 - y_1$, $B = x_1 - x_2$, $C = x_2y_1 - x_1y_2$.
3. Теперь используем формулу для нахождения расстояния $d$ от точки $M_0(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Оба способа приводят к одной и той же итоговой формуле. Объединив шаги, можно получить единый алгоритм вычисления.

Ответ:

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0, y_0)$ до прямой, проходящей через точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, можно найти по следующему алгоритму:

1. Вычислить коэффициенты общего уравнения прямой $Ax+By+C=0$, проходящей через точки $M_1$ и $M_2$:
   • $A = y_2 - y_1$
   • $B = x_1 - x_2$
   • $C = x_2y_1 - x_1y_2$
2. Подставить эти коэффициенты и координаты точки $M_0(x_0, y_0)$ в формулу расстояния от точки до прямой:
   $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Итоговая формула в развернутом виде:

$d = \frac{|(y_2 - y_1)x_0 + (x_1 - x_2)y_0 + (x_2y_1 - x_1y_2)|}{\sqrt{(y_2 - y_1)^2 + (x_1 - x_2)^2}}$

Эквивалентная формула, полученная из геометрического метода:

$d = \frac{|(x_1 - x_0)(y_2 - y_0) - (x_2 - x_0)(y_1 - y_0)|}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$