Номер 658, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

658. Определите, в каком отношении плоскость $2x - 3y + 5z - 5 = 0$ делит

отрезок $AB$, если:

а) $A (3; -2; -1)$, $B (2; 7; -1)$;

б) $A(-1; 4; 11)$, $B (3; -4; 1)$.

Для определения отношения, в котором плоскость делит отрезок, можно использовать следующую методику. Пусть точка $M$ является точкой пересечения плоскости и прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Если точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda = \frac{AM}{MB}$, то ее координаты $(x_M, y_M, z_M)$ выражаются через координаты точек $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$ по формулам: $x_M = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$, $y_M = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$, $z_M = \frac{z_A + \lambda z_B}{1 + \lambda}$.

Поскольку точка $M$ лежит на плоскости $2x - 3y + 5z - 5 = 0$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости. Подставим выражения для координат точки $M$ в уравнение плоскости: $2\left(\frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}\right) - 3\left(\frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}\right) + 5\left(\frac{z_A + \lambda z_B}{1 + \lambda}\right) - 5 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $(1 + \lambda)$ (при условии, что прямая не параллельна плоскости, то есть $1 + \lambda \neq 0$) и сгруппируем слагаемые: $(2x_A - 3y_A + 5z_A - 5) + \lambda(2x_B - 3y_B + 5z_B - 5) = 0$.

Отсюда можно выразить искомое отношение $\lambda$: $\lambda = - \frac{2x_A - 3y_A + 5z_A - 5}{2x_B - 3y_B + 5z_B - 5}$.

Если $\lambda > 0$, то точка пересечения $M$ лежит между точками $A$ и $B$ (внутреннее деление). Если $\lambda < 0$, то точка $M$ лежит на прямой $AB$ вне отрезка $AB$ (внешнее деление).

а) Даны точки $A(3; -2; -1)$ и $B(2; 7; -1)$.

Найдем значения выражения $2x - 3y + 5z - 5$ для точек $A$ и $B$.

Для точки $A$: $2(3) - 3(-2) + 5(-1) - 5 = 6 + 6 - 5 - 5 = 2$.

Для точки $B$: $2(2) - 3(7) + 5(-1) - 5 = 4 - 21 - 5 - 5 = -27$.

Теперь вычислим отношение $\lambda$: $\lambda = - \frac{2}{-27} = \frac{2}{27}$.

Так как $\lambda > 0$, плоскость пересекает отрезок $AB$ между точками $A$ и $B$.

Ответ: $2:27$.

б) Даны точки $A(-1; 4; 11)$ и $B(3; -4; 1)$.

Найдем значения выражения $2x - 3y + 5z - 5$ для точек $A$ и $B$.

Для точки $A$: $2(-1) - 3(4) + 5(11) - 5 = -2 - 12 + 55 - 5 = 36$.

Для точки $B$: $2(3) - 3(-4) + 5(1) - 5 = 6 + 12 + 5 - 5 = 18$.

Теперь вычислим отношение $\lambda$: $\lambda = - \frac{36}{18} = -2$.

Так как $\lambda < 0$, плоскость пересекает продолжение отрезка $AB$. Отношение расстояний от точек $A$ и $B$ до точки пересечения равно $|\lambda| = 2$, то есть $AM:MB = 2:1$. Знак минус указывает на то, что точка пересечения лежит на прямой вне отрезка.

Ответ: $-2:1$.