Номер 663, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

663. Пусть M и N – середины отрезков AB и CD. Докажите, что:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$

Для доказательства данного векторного тождества используем метод радиус-векторов. Пусть A, B, C, D — четыре произвольные точки в пространстве.

По условию, M — середина отрезка AB, а N — середина отрезка CD. Выберем произвольную точку O в качестве начала отсчета. Тогда радиус-вектор любой точки X будет обозначаться как $\overline{OX}$.

По формуле радиус-вектора середины отрезка имеем:

$$ \overline{OM} = \frac{\overline{OA} + \overline{OB}}{2} $$$$ \overline{ON} = \frac{\overline{OC} + \overline{OD}}{2} $$

Вектор $\overline{MN}$ можно выразить через радиус-векторы его конца (N) и начала (M):

$$ \overline{MN} = \overline{ON} - \overline{OM} $$

Подставим в это равенство выражения для $\overline{OM}$ и $\overline{ON}$:

$$ \overline{MN} = \frac{\overline{OC} + \overline{OD}}{2} - \frac{\overline{OA} + \overline{OB}}{2} $$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$ \overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{OC} + \overline{OD} - \overline{OA} - \overline{OB}) $$

Это основное выражение, из которого мы докажем обе части тождества.

Докажем, что $\overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC})$

В полученном выражении для $\overline{MN}$ сгруппируем слагаемые следующим образом, чтобы получить векторы $\overline{AD}$ и $\overline{BC}$:

$$ \overline{MN} = \frac{1}{2}[(\overline{OD} - \overline{OA}) + (\overline{OC} - \overline{OB})] $$

Используя правило вычитания векторов ($\overline{XY} = \overline{OY} - \overline{OX}$), получаем:

$$ \overline{OD} - \overline{OA} = \overline{AD} $$$$ \overline{OC} - \overline{OB} = \overline{BC} $$

Подставив эти выражения, приходим к первому равенству:

$$ \overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC}) $$

Ответ: Равенство $\overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC})$ доказано.

Докажем, что $\overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AC} + \overline{BD})$

Вернемся к основному выражению для $\overline{MN}$ и сгруппируем слагаемые иным способом, чтобы получить векторы $\overline{AC}$ и $\overline{BD}$:

$$ \overline{MN} = \frac{1}{2}[(\overline{OC} - \overline{OA}) + (\overline{OD} - \overline{OB})] $$

Используя то же правило вычитания векторов, получаем:

$$ \overline{OC} - \overline{OA} = \overline{AC} $$$$ \overline{OD} - \overline{OB} = \overline{BD} $$

Подставив эти выражения, приходим ко второму равенству:

$$ \overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AC} + \overline{BD}) $$

Ответ: Равенство $\overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AC} + \overline{BD})$ доказано.

Так как мы установили, что вектор $\overline{MN}$ равен как $\frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC})$, так и $\frac{1}{2}(\overline{AC} + \overline{BD})$, то исходное тождество

$$ \overline{MN} = \frac{1}{2}(\overline{AD} + \overline{BC}) = \frac{1}{2}(\overline{AC} + \overline{BD}) $$

является верным, что и требовалось доказать.