Номер 668, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

668. В каждой из боковых граней треугольной призмы проведена диагональ. Докажите, что не существует плоскости, которой параллельны эти диагонали. Верно ли аналогичное утверждение для четырехугольной призмы?

Доказательство для треугольной призмы

Рассмотрим треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. Боковыми гранями являются параллелограммы $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. В каждой боковой грани проведена одна из двух диагоналей.

Докажем от противного. Предположим, что существует плоскость $\pi$, которой параллельны все три выбранные диагонали.

Введем векторы. Пусть $\vec{u} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$ — вектор бокового ребра. Пусть $\vec{s_1} = \vec{AB}$, $\vec{s_2} = \vec{BC}$, $\vec{s_3} = \vec{CA}$ — векторы сторон основания. Для них выполняется равенство $\vec{s_1} + \vec{s_2} + \vec{s_3} = \vec{0}$.

В каждой боковой грани есть две диагонали.

• В грани $ABB_1A_1$ диагонали $AB_1$ и $BA_1$. Их векторы: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{s_1} + \vec{u}$ и $\vec{BA_1} = \vec{BA} + \vec{AA_1} = -\vec{s_1} + \vec{u}$. Вектор любой из этих диагоналей можно записать как $\vec{d_1} = \vec{u} + \sigma_1 \vec{s_1}$, где $\sigma_1 \in \{1, -1\}$.
• В грани $BCC_1B_1$ диагонали $BC_1$ и $CB_1$. Их векторы можно записать как $\vec{d_2} = \vec{u} + \sigma_2 \vec{s_2}$, где $\sigma_2 \in \{1, -1\}$.
• В грани $CAA_1C_1$ диагонали $CA_1$ и $AC_1$. Их векторы можно записать как $\vec{d_3} = \vec{u} + \sigma_3 \vec{s_3}$, где $\sigma_3 \in \{1, -1\}$.

Если три диагонали с векторами $\vec{d_1}$, $\vec{d_2}$, $\vec{d_3}$ параллельны плоскости $\pi$, то их векторы компланарны. Это означает, что существуют такие числа $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, не все равные нулю, что выполняется равенство:

$\alpha \vec{d_1} + \beta \vec{d_2} + \gamma \vec{d_3} = \vec{0}$

Подставим выражения для векторов диагоналей:

$\alpha (\vec{u} + \sigma_1 \vec{s_1}) + \beta (\vec{u} + \sigma_2 \vec{s_2}) + \gamma (\vec{u} + \sigma_3 \vec{s_3}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые:

$(\alpha + \beta + \gamma)\vec{u} + (\alpha \sigma_1 \vec{s_1} + \beta \sigma_2 \vec{s_2} + \gamma \sigma_3 \vec{s_3}) = \vec{0}$

Вектор бокового ребра $\vec{u}$ не компланарен плоскости основания, а значит, он не компланарен векторам $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$, $\vec{s_3}$. Следовательно, вектор $\vec{u}$ и векторная сумма в скобках $(\alpha \sigma_1 \vec{s_1} + \beta \sigma_2 \vec{s_2} + \gamma \sigma_3 \vec{s_3})$, лежащая в плоскости основания, могут дать в сумме нулевой вектор только если они оба равны нулевому вектору.

Получаем систему уравнений:

1. $\alpha + \beta + \gamma = 0$

2. $\alpha \sigma_1 \vec{s_1} + \beta \sigma_2 \vec{s_2} + \gamma \sigma_3 \vec{s_3} = \vec{0}$

Векторы сторон основания $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ не коллинеарны (так как $A, B, C$ — вершины треугольника) и образуют базис в плоскости основания. Выразим $\vec{s_3}$ через них: $\vec{s_3} = -(\vec{s_1} + \vec{s_2})$. Подставим во второе уравнение:

$\alpha \sigma_1 \vec{s_1} + \beta \sigma_2 \vec{s_2} + \gamma \sigma_3 (-\vec{s_1} - \vec{s_2}) = \vec{0}$

$(\alpha \sigma_1 - \gamma \sigma_3)\vec{s_1} + (\beta \sigma_2 - \gamma \sigma_3)\vec{s_2} = \vec{0}$

Так как $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ линейно независимы, коэффициенты при них должны быть равны нулю:

$\alpha \sigma_1 - \gamma \sigma_3 = 0 \implies \alpha \sigma_1 = \gamma \sigma_3$

$\beta \sigma_2 - \gamma \sigma_3 = 0 \implies \beta \sigma_2 = \gamma \sigma_3$

Отсюда следует, что $\alpha \sigma_1 = \beta \sigma_2 = \gamma \sigma_3$. Обозначим это общее значение через $k$.

$\alpha = k/\sigma_1 = k \sigma_1$ (поскольку $\sigma_1^2 = 1$)

$\beta = k/\sigma_2 = k \sigma_2$

$\gamma = k/\sigma_3 = k \sigma_3$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы ($\alpha + \beta + \gamma = 0$):

$k \sigma_1 + k \sigma_2 + k \sigma_3 = 0$

$k(\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3) = 0$

Для того чтобы векторы были компланарны, необходимо существование нетривиального решения, то есть $k \neq 0$. Это возможно, только если $\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 = 0$.

Однако, числа $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ могут принимать только значения $1$ или $-1$. Сумма трех таких чисел никогда не может быть равна нулю (возможные значения суммы: $3, 1, -1, -3$).

Следовательно, равенство $\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 = 0$ невозможно. Это означает, что $k$ должно быть равно $0$. Если $k=0$, то и $\alpha=\beta=\gamma=0$. Это тривиальное решение, которое означает, что векторы $\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}$ линейно независимы, а значит, не компланарны.

Таким образом, наше первоначальное предположение неверно. Не существует плоскости, которой были бы параллельны три диагонали боковых граней треугольной призмы.

Ответ: Доказано, что не существует плоскости, которой параллельны три диагонали, проведенные в боковых гранях треугольной призмы.

Верно ли аналогичное утверждение для четырехугольной призмы?

Аналогичное утверждение для четырехугольной призмы неверно. Можно указать пример четырехугольной призмы и выбора диагоналей в ее боковых гранях, которые будут параллельны одной плоскости.

Рассмотрим призму $ABCD-A_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит параллелограмм $ABCD$. Такая призма называется параллелепипедом.

Пусть $\vec{u} = \vec{AA_1}$ — вектор бокового ребра, $\vec{s_1} = \vec{AB}$ и $\vec{s_2} = \vec{BC}$ — векторы смежных сторон основания. Так как основание — параллелограмм, то $\vec{CD} = -\vec{s_1}$ и $\vec{DA} = -\vec{s_2}$.

Выберем в каждой из четырех боковых граней по одной диагонали следующим образом:

• В грани $ABB_1A_1$ выберем диагональ $AB_1$. Ее вектор: $\vec{d_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{s_1} + \vec{u}$.
• В грани $BCC_1B_1$ выберем диагональ $BC_1$. Ее вектор: $\vec{d_2} = \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{s_2} + \vec{u}$.
• В грани $CDD_1C_1$ выберем диагональ $DC_1$. Ее вектор: $\vec{d_3} = \vec{DC} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{u} = \vec{s_1} + \vec{u}$.
• В грани $DAA_1D_1$ выберем диагональ $AD_1$. Ее вектор: $\vec{d_4} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{BC} + \vec{u} = \vec{s_2} + \vec{u}$.

В результате такого выбора мы получили четыре вектора диагоналей:

$\vec{d_1} = \vec{s_1} + \vec{u}$

$\vec{d_2} = \vec{s_2} + \vec{u}$

$\vec{d_3} = \vec{s_1} + \vec{u}$

$\vec{d_4} = \vec{s_2} + \vec{u}$

Среди этих четырех векторов только два различных: $\vec{v_a} = \vec{s_1} + \vec{u}$ и $\vec{v_b} = \vec{s_2} + \vec{u}$. Поскольку $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ не коллинеарны, а $\vec{u}$ не компланарен им, векторы $\vec{v_a}$ и $\vec{v_b}$ также не коллинеарны.

Два неколлинеарных вектора $\vec{v_a}$ и $\vec{v_b}$ задают плоскость. Все четыре выбранные диагонали имеют векторы, которые либо равны $\vec{v_a}$, либо $\vec{v_b}$. Следовательно, все четыре диагонали параллельны плоскости, определяемой этими двумя векторами.

Таким образом, для четырехугольной призмы, у которой основание является параллелограммом, можно выбрать по одной диагонали в каждой боковой грани так, что все они будут параллельны одной плоскости.

Ответ: Нет, аналогичное утверждение для четырехугольной призмы неверно.