Номер 671, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

671. Докажите, что векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Для доказательства утверждения "тогда и только тогда" необходимо доказать его в обе стороны: необходимость и достаточность.

Доказательство необходимости
Нужно доказать, что если векторы $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ перпендикулярны, то их модули равны, то есть $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
По определению, если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$
Раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (свойство "фонтанчика"):
$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$
Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Поэтому слагаемые $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются:
$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля (длины): $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Применяя это свойство, получаем:
$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$
Отсюда следует, что $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$.
Так как модуль вектора — это неотрицательная величина, из равенства квадратов модулей следует равенство самих модулей:
$|\vec{a}| = |\vec{b}|$
Первая часть доказана.

Доказательство достаточности
Нужно доказать, что если $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, то векторы $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ перпендикулярны.
Для доказательства перпендикулярности векторов достаточно показать, что их скалярное произведение равно нулю. Рассмотрим скалярное произведение $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$
После упрощения (как в первой части) получаем:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$
По условию нам дано, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Следовательно, $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$. Подставим это в полученное выражение:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$
Поскольку скалярное произведение векторов $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ равно нулю, эти векторы перпендикулярны.
Вторая часть доказана.

Так как доказаны и необходимость, и достаточность, исходное утверждение является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.