Номер 670, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

670. В пространстве отмечены точки A, B, C, D. Определите, для каких точек M верно равенство $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$.

Для определения положения точки $M$, для которой выполняется равенство $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \vec{0}$, воспользуемся методом радиус-векторов.

Выберем в пространстве произвольную точку $O$ в качестве начала отсчета. Тогда положение любой точки $X$ можно задать ее радиус-вектором $\vec{r}_X = \overrightarrow{OX}$. Каждый вектор в исходном равенстве можно выразить через радиус-векторы его начала и конца. Например, $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}$. Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C, D, M$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}$ соответственно.

Тогда исходное уравнение принимает вид:$(\vec{a} - \vec{m}) + (\vec{b} - \vec{m}) + (\vec{c} - \vec{m}) + (\vec{d} - \vec{m}) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые:$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) - 4\vec{m} = \vec{0}$

Отсюда выразим радиус-вектор точки $M$:$4\vec{m} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Полученная формула однозначно определяет радиус-вектор, а значит, и положение искомой точки $M$. Эта точка называется центроидом или барицентром системы точек $A, B, C, D$. Это означает, что равенство верно только для одной точки.

Найдем геометрическое положение этой точки. Рассмотрим отрезок, соединяющий середины отрезков $AB$ и $CD$. Пусть $P$ — середина $AB$, а $Q$ — середина $CD$. Их радиус-векторы равны:$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$$\vec{q} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Найдем радиус-вектор середины отрезка $PQ$. Обозначим эту середину как $M'$.$\vec{m'} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2} = \frac{\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

Сравнивая полученный результат с радиус-вектором точки $M$, видим, что $\vec{m'} = \vec{m}$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка, соединяющего середины отрезков $AB$ и $CD$.

Аналогично можно показать, что точка $M$ также является серединой отрезка, соединяющего середины $AC$ и $BD$, и серединой отрезка, соединяющего середины $AD$ и $BC$.

Если точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, они образуют тетраэдр. Отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, называются его бимедианами. Таким образом, точка $M$ является точкой пересечения бимедиан тетраэдра $ABCD$. Эта точка также является точкой пересечения его медиан (отрезков, соединяющих вершину с центроидом противоположной грани).

Следовательно, искомая точка $M$ — это центроид системы точек $A, B, C, D$, и она единственна.

Ответ: Данное равенство верно для единственной точки $M$, которая является центроидом (барицентром) системы точек $A, B, C, D$. Геометрически эта точка является общей серединой трех отрезков, соединяющих середины пар отрезков $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$.