Номер 666, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

666. В пространстве расположены два параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$. Точки $A, B, C, D$ — середины отрезков $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ и $D_1D_2$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ также параллелограмм.

Для доказательства данной задачи воспользуемся методом векторов. Введем в пространстве систему координат с началом в произвольной точке O. Тогда положение любой точки X можно определить ее радиус-вектором $\vec{x} = \vec{OX}$.

По условию, четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом. Один из признаков параллелограмма — равенство векторов его противоположных сторон. Следовательно, $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$. В терминах радиус-векторов это записывается как:

$\vec{b_1} - \vec{a_1} = \vec{c_1} - \vec{d_1}$ (1)

Аналогично, для параллелограмма $A_2B_2C_2D_2$ имеем $\vec{A_2B_2} = \vec{D_2C_2}$, что дает нам второе равенство:

$\vec{b_2} - \vec{a_2} = \vec{c_2} - \vec{d_2}$ (2)

Из условия известно, что точки A, B, C, D являются серединами отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ и $D_1D_2$ соответственно. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Таким образом, для радиус-векторов вершин четырехугольника ABCD имеем:

$\vec{a} = \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2}}{2}$; $\vec{b} = \frac{\vec{b_1} + \vec{b_2}}{2}$; $\vec{c} = \frac{\vec{c_1} + \vec{c_2}}{2}$; $\vec{d} = \frac{\vec{d_1} + \vec{d_2}}{2}$

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам необходимо показать, что выполняется равенство векторов его противоположных сторон, например, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Найдем вектор $\vec{AB}$, выразив его через радиус-векторы его начала и конца:

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \frac{\vec{b_1} + \vec{b_2}}{2} - \frac{\vec{a_1} + \vec{a_2}}{2} = \frac{1}{2}((\vec{b_1} - \vec{a_1}) + (\vec{b_2} - \vec{a_2}))$

Аналогично найдем вектор $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = \vec{c} - \vec{d} = \frac{\vec{c_1} + \vec{c_2}}{2} - \frac{\vec{d_1} + \vec{d_2}}{2} = \frac{1}{2}((\vec{c_1} - \vec{d_1}) + (\vec{c_2} - \vec{d_2}))$

Используя равенства (1) и (2), заменим разности векторов в выражении для $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \frac{1}{2}((\vec{c_1} - \vec{d_1}) + (\vec{c_2} - \vec{d_2}))$

Сравнивая полученное выражение для $\vec{AB}$ с выражением для $\vec{DC}$, мы видим, что они идентичны. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что отрезки AB и DC параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник ABCD также является параллелограммом.