Номер 661, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

661. Около квадрата описана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки этой окружности до вершин квадрата равна учетверенному квадрату его стороны. Как изменится это утверждение, если рассматривать точки вписанной в квадрат окружности?

Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки этой окружности до вершин квадрата равна учетверенному квадрату его стороны.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим центр квадрата, который также является центром описанной окружности, в начало координат $O(0, 0)$. Пусть сторона квадрата равна $a$.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, радиус $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Квадрат радиуса равен $R^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$. Уравнение описанной окружности имеет вид $x^2 + y^2 = R^2 = \frac{a^2}{2}$.

Чтобы упростить вычисления, расположим вершины квадрата $A, B, C, D$ на осях координат. Такое расположение возможно, так как диагонали квадрата перпендикулярны. Координаты вершин будут: $A(R, 0)$, $B(0, R)$, $C(-R, 0)$, $D(0, -R)$. Проверим, что сторона такого квадрата действительно равна $a$. Расстояние между вершинами $A$ и $B$ в квадрате равно: $AB^2 = (R-0)^2 + (0-R)^2 = R^2 + R^2 = 2R^2 = 2 \cdot \frac{a^2}{2} = a^2$.

Возьмем произвольную точку $P(x, y)$ на описанной окружности. Ее координаты удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = R^2$. Найдем сумму квадратов расстояний от точки $P$ до вершин квадрата: $S = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2$.

Используя формулу расстояния между двумя точками, найдем квадрат каждого расстояния: $PA^2 = (x - R)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2Rx + R^2 + y^2$
$PB^2 = (x - 0)^2 + (y - R)^2 = x^2 + y^2 - 2Ry + R^2$
$PC^2 = (x - (-R))^2 + (y - 0)^2 = (x + R)^2 + y^2 = x^2 + 2Rx + R^2 + y^2$
$PD^2 = (x - 0)^2 + (y - (-R))^2 = x^2 + (y + R)^2 = x^2 + y^2 + 2Ry + R^2$

Сложим эти четыре выражения: $S = (x^2 - 2Rx + R^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2Ry + R^2) + (x^2 + 2Rx + R^2 + y^2) + (x^2 + y^2 + 2Ry + R^2)$
Сгруппируем и упростим. Члены $-2Rx$ и $+2Rx$ взаимно уничтожаются, так же как и $-2Ry$ и $+2Ry$.
$S = 4(x^2 + y^2) + 4R^2$

Поскольку точка $P(x, y)$ лежит на окружности, $x^2 + y^2 = R^2$. Подставим это в выражение для $S$: $S = 4(R^2) + 4R^2 = 8R^2$

Теперь выразим $S$ через сторону квадрата $a$, используя соотношение $R^2 = \frac{a^2}{2}$: $S = 8 \left(\frac{a^2}{2}\right) = 4a^2$

Таким образом, доказано, что сумма квадратов расстояний от любой точки описанной окружности до вершин квадрата постоянна и равна учетверенному квадрату его стороны.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов расстояний равна $4a^2$.

Как изменится это утверждение, если рассматривать точки вписанной в квадрат окружности?

Рассмотрим тот же квадрат со стороной $a$, но теперь с вписанной в него окружностью. Центр квадрата и вписанной окружности также поместим в начало координат $O(0, 0)$.

Чтобы окружность была вписанной, стороны квадрата должны быть параллельны осям координат. Радиус вписанной окружности $r$ равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2}$. Уравнение вписанной окружности: $x^2 + y^2 = r^2 = \frac{a^2}{4}$.

Координаты вершин квадрата в этом случае будут: $A(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, $B(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, $C(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$, $D(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$.

Возьмем произвольную точку $P(x, y)$ на вписанной окружности. Ее координаты удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$. Найдем сумму квадратов расстояний от точки $P$ до вершин, обозначим ее $S'$: $S' = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2$.

Вычислим квадраты расстояний: $PA^2 = (x - \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a}{2})^2 = x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 - ay + \frac{a^2}{4}$
$PB^2 = (x + \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a}{2})^2 = x^2 + ax + \frac{a^2}{4} + y^2 - ay + \frac{a^2}{4}$
$PC^2 = (x + \frac{a}{2})^2 + (y + \frac{a}{2})^2 = x^2 + ax + \frac{a^2}{4} + y^2 + ay + \frac{a^2}{4}$
$PD^2 = (x - \frac{a}{2})^2 + (y + \frac{a}{2})^2 = x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 + ay + \frac{a^2}{4}$

Сложим эти выражения. При сложении члены, содержащие $ax$ и $ay$, взаимно уничтожаются:
$(-ax + ax + ax - ax = 0)$ и $(-ay - ay + ay + ay = 0)$.
$S' = 4x^2 + 4y^2 + 8 \cdot \frac{a^2}{4} = 4(x^2 + y^2) + 2a^2$

Поскольку точка $P(x, y)$ лежит на вписанной окружности, $x^2 + y^2 = r^2 = \frac{a^2}{4}$. Подставим это значение в выражение для $S'$: $S' = 4 \left(\frac{a^2}{4}\right) + 2a^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

Таким образом, для любой точки на вписанной окружности сумма квадратов расстояний до вершин квадрата постоянна и равна утроенному квадрату стороны квадрата.

Ответ: Утверждение изменится. Для точек вписанной окружности сумма квадратов расстояний до вершин квадрата будет равна утроенному квадрату его стороны, то есть $3a^2$.