Номер 656, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

656. Найдите все точки, равноотстоящие от точек $A (-1; 4; 11)$, $B (3; -4; 11)$ и $C (11; -5; -4)$.

Пусть искомая точка имеет координаты $P(x; y; z)$. По условию задачи, эта точка должна быть равноудалена от точек $A(-1; 4; 11)$, $B(3; -4; 11)$ и $C(11; -5; -4)$. Это означает, что расстояния $PA$, $PB$ и $PC$ должны быть равны: $PA = PB = PC$.

Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $PA^2 = PB^2 = PC^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Составим систему из двух уравнений. Первое уравнение получим из равенства $PA^2 = PB^2$:

$(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 + (z - 11)^2 = (x - 3)^2 + (y - (-4))^2 + (z - 11)^2$

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 11)^2 = (x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 11)^2$

Сократив $(z - 11)^2$ в обеих частях и раскрыв скобки, получим:

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 8y + 16$

Приведем подобные члены:

$2x - 8y + 17 = -6x + 8y + 25$

$8x - 16y = 8$

Разделив на 8, получим первое линейное уравнение: $x - 2y = 1$.

Второе уравнение получим из равенства $PB^2 = PC^2$:

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 11)^2 = (x - 11)^2 + (y + 5)^2 + (z + 4)^2$

Раскрыв скобки, получим:

$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 8y + 16 + z^2 - 22z + 121 = x^2 - 22x + 121 + y^2 + 10y + 25 + z^2 + 8z + 16$

Приведем подобные члены:

$-6x + 8y - 22z + 146 = -22x + 10y + 8z + 162$

$16x - 2y - 30z = 16$

Разделив на 2, получим второе линейное уравнение: $8x - y - 15z = 8$.

Искомые точки лежат на пересечении двух плоскостей, заданных полученными уравнениями. Для их нахождения решим систему:

$\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 8x - y - 15z = 8 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 1 + 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$8(1 + 2y) - y - 15z = 8$

$8 + 16y - y - 15z = 8$

$15y - 15z = 0 \implies y = z$

Решением системы является прямая в пространстве. Для нахождения ее параметрического уравнения введем параметр $t$, где $t \in \mathbb{R}$. Пусть $z = t$, тогда и $y = t$. Подставим $y=t$ в выражение для $x$: $x = 1 + 2t$.

Следовательно, множество всех искомых точек — это прямая, заданная параметрическими уравнениями. Любая точка вида $(1+2t; t; t)$, где $t$ — любое действительное число, является решением.

Ответ: Все искомые точки образуют прямую, которая задается параметрическими уравнениями $\begin{cases} x=1+2t \\ y=t \\ z=t \end{cases}$, где $t \in \mathbb{R}$.