Номер 654, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

654. Найдите расстояние от точки $M (4; -3; 12)$ до:

а) координатных плоскостей;

б) координатных осей;

в) начала координат.

Дана точка $M$ с координатами $(4; -3; 12)$.

а) координатных плоскостей;

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до координатной плоскости равно модулю координаты, перпендикулярной этой плоскости.

1. Расстояние до плоскости $Oxy$ (уравнение $z=0$) равно модулю z-координаты точки $M$.
$d(M, Oxy) = |z_M| = |12| = 12$.

2. Расстояние до плоскости $Oxz$ (уравнение $y=0$) равно модулю y-координаты точки $M$.
$d(M, Oxz) = |y_M| = |-3| = 3$.

3. Расстояние до плоскости $Oyz$ (уравнение $x=0$) равно модулю x-координаты точки $M$.
$d(M, Oyz) = |x_M| = |4| = 4$.

Ответ: расстояние до плоскости $Oxy$ равно 12, до плоскости $Oxz$ равно 3, до плоскости $Oyz$ равно 4.

б) координатных осей;

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до координатной оси — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на ось. Оно вычисляется как корень из суммы квадратов координат, не соответствующих данной оси.

1. Расстояние до оси $Ox$ (ось абсцисс) вычисляется по формуле $d = \sqrt{y_0^2 + z_0^2}$.
Для точки $M(4; -3; 12)$ расстояние до оси $Ox$ равно:
$d(M, Ox) = \sqrt{(-3)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$.

2. Расстояние до оси $Oy$ (ось ординат) вычисляется по формуле $d = \sqrt{x_0^2 + z_0^2}$.
Для точки $M(4; -3; 12)$ расстояние до оси $Oy$ равно:
$d(M, Oy) = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$.

3. Расстояние до оси $Oz$ (ось аппликат) вычисляется по формуле $d = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.
Для точки $M(4; -3; 12)$ расстояние до оси $Oz$ равно:
$d(M, Oz) = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: расстояние до оси $Ox$ равно $3\sqrt{17}$, до оси $Oy$ равно $4\sqrt{10}$, до оси $Oz$ равно 5.

в) начала координат.

Начало координат — это точка $O(0; 0; 0)$. Расстояние от точки $M(x_M, y_M, z_M)$ до начала координат вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$d(M, O) = \sqrt{(x_M - 0)^2 + (y_M - 0)^2 + (z_M - 0)^2} = \sqrt{x_M^2 + y_M^2 + z_M^2}$.

Подставим координаты точки $M(4; -3; 12)$:

$d(M, O) = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: расстояние до начала координат равно 13.