Номер 665, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

665. У треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ совпадают точки пересечения медиан. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны одной плоскости.

Для решения данной задачи воспользуемся векторным методом. Выберем произвольную точку $O$ в пространстве в качестве начала координат. Тогда положение любой точки $P$ будет определяться ее радиус-вектором $\vec{r}_P = \vec{OP}$. Обозначим радиус-векторы вершин треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ как $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C$ и $\vec{r}_{A_1}, \vec{r}_{B_1}, \vec{r}_{C_1}$ соответственно.

Радиус-вектор точки пересечения медиан (центроида) треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Пусть $M$ — центроид треугольника $ABC$, а $M_1$ — центроид треугольника $A_1B_1C_1$. Тогда их радиус-векторы $\vec{r}_M$ и $\vec{r}_{M_1}$ определяются формулами:

$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3}$

$\vec{r}_{M_1} = \frac{\vec{r}_{A_1} + \vec{r}_{B_1} + \vec{r}_{C_1}}{3}$

По условию задачи, точки пересечения медиан совпадают, то есть $M = M_1$. Это означает, что их радиус-векторы равны:

$\vec{r}_M = \vec{r}_{M_1}$

$\frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3} = \frac{\vec{r}_{A_1} + \vec{r}_{B_1} + \vec{r}_{C_1}}{3}$

Умножив обе части равенства на 3, получим:

$\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C = \vec{r}_{A_1} + \vec{r}_{B_1} + \vec{r}_{C_1}$

Теперь рассмотрим векторы, определяющие направления прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Эти векторы равны разностям соответствующих радиус-векторов:

$\vec{AA_1} = \vec{r}_{A_1} - \vec{r}_A$

$\vec{BB_1} = \vec{r}_{B_1} - \vec{r}_B$

$\vec{CC_1} = \vec{r}_{C_1} - \vec{r}_C$

Чтобы доказать, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны одной плоскости, достаточно доказать, что их направляющие векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ компланарны (то есть параллельны одной плоскости).

Найдем сумму этих векторов, используя выведенное ранее равенство:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = (\vec{r}_{A_1} - \vec{r}_A) + (\vec{r}_{B_1} - \vec{r}_B) + (\vec{r}_{C_1} - \vec{r}_C)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\vec{r}_{A_1} + \vec{r}_{B_1} + \vec{r}_{C_1}) - (\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C)$

Так как $\vec{r}_{A_1} + \vec{r}_{B_1} + \vec{r}_{C_1} = \vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C$, то разность этих выражений равна нулевому вектору:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{0}$

Равенство суммы трех векторов нулевому вектору является условием их компланарности. Это следует из того, что один из векторов можно выразить через два других как линейную комбинацию, например, $\vec{CC_1} = -1 \cdot \vec{AA_1} - 1 \cdot \vec{BB_1}$. Это означает, что вектор $\vec{CC_1}$ лежит в плоскости, заданной векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ (если они не коллинеарны). Следовательно, три вектора $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$ и $\vec{CC_1}$ компланарны.

Поскольку направляющие векторы прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ компланарны, сами прямые параллельны плоскости, которой параллельны эти векторы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны одной плоскости.