Номер 672, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

672. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.

Для доказательства существования треугольника, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника, можно использовать несколько методов. Приведём два из них: векторный и метод геометрического построения.

Способ 1: Векторный метод

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим векторы, идущие из некоторого общего начала в вершины треугольника, как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Медианы $m_a, m_b, m_c$ проведены из вершин $A, B, C$ к серединам противоположных сторон $BC, AC, AB$ соответственно. Обозначим эти середины как $A_1, B_1, C_1$.

Векторы, соответствующие серединам сторон, выражаются через векторы вершин:

$\vec{OA_1} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$

$\vec{OB_1} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$

$\vec{OC_1} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

Тогда векторы, соответствующие медианам, равны разности векторов конца и начала отрезка:

$\vec{m_a} = \vec{AA_1} = \vec{OA_1} - \vec{OA} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a}$

$\vec{m_b} = \vec{BB_1} = \vec{OB_1} - \vec{OB} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} - \vec{b}$

$\vec{m_c} = \vec{CC_1} = \vec{OC_1} - \vec{OC} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c}$

Для того чтобы доказать, что из отрезков, равных и параллельных медианам, можно составить треугольник, необходимо показать, что сумма векторов этих медиан равна нулевому вектору. Если сумма трёх векторов равна нулю, то, отложив их последовательно друг от друга (конец одного совмещается с началом следующего), начало первого вектора совпадет с концом последнего, образуя замкнутую фигуру — треугольник.

Найдем сумму векторов медиан:

$\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a}\right) + \left(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} - \vec{b}\right) + \left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c}\right)$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:

$\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \vec{a}\left(-\!1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \vec{b}\left(\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2}\right) + \vec{c}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1\right)$

$\vec{m_a} + \vec{m_b} + \vec{m_c} = \vec{a}(0) + \vec{b}(0) + \vec{c}(0) = \vec{0}$

Поскольку сумма векторов медиан равна нулю, это означает, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны по длине медианам данного треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Способ 2: Геометрическое построение

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его медианы как $AA_1, BB_1, CC_1$. Пусть $O$ — точка пересечения медиан (центроид).

Как известно, центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. То есть:

$AO = \frac{2}{3}AA_1, \quad BO = \frac{2}{3}BB_1, \quad CO = \frac{2}{3}CC_1$

Выполним следующее построение. На продолжении отрезка $OC_1$ за точку $C_1$ отложим отрезок $C_1K$, равный $OC_1$. Таким образом, точка $C_1$ является серединой отрезка $OK$.

Рассмотрим четырехугольник $AOBK$. Его диагонали — это $AB$ и $OK$. Точка $C_1$ является серединой стороны $AB$ (по определению медианы $CC_1$) и серединой отрезка $OK$ (по построению). Так как диагонали четырехугольника $AOBK$ пересекаются в своей середине ($C_1$), этот четырехугольник является параллелограммом.

Теперь рассмотрим треугольник $AOK$. Найдем его стороны:

• Сторона $AO$ является частью медианы $AA_1$ и равна $\frac{2}{3}AA_1$. Она параллельна $AA_1$.
• Сторона $OK$ лежит на прямой, содержащей медиану $CC_1$. Ее длина $OK = OC_1 + C_1K = 2 \cdot OC_1$. Так как $OC_1 = \frac{1}{3}CC_1$, то $OK = \frac{2}{3}CC_1$. Сторона $OK$ параллельна $CC_1$.
• Сторона $AK$. Поскольку $AOBK$ — параллелограмм, то сторона $AK$ параллельна и равна стороне $OB$. Отрезок $OB$ является частью медианы $BB_1$ и равен $\frac{2}{3}BB_1$. Следовательно, $AK$ параллельна $BB_1$ и $AK = \frac{2}{3}BB_1$.

Таким образом, мы построили треугольник $AOK$, стороны которого ($AO, AK, OK$) параллельны медианам ($AA_1, BB_1, CC_1$) треугольника $ABC$, а их длины пропорциональны длинам медиан с коэффициентом $\frac{2}{3}$.

Поскольку треугольник $AOK$ существует, то существует и треугольник, подобный ему с коэффициентом подобия $\frac{3}{2}$. Стороны такого треугольника будут равны по длине и параллельны медианам исходного треугольника $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.