Номер 678, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

678. Лучи $l_1$, $l_2$ и $l_3$ — биссектрисы углов, образованных лучами $QA$, $QB$ и $QC$. Докажите, что если $l_1 \perp l_2$, то лучи $l_1$, $l_2$ и $l_3$ попарно перпендикулярны.

Для доказательства воспользуемся векторным методом.

Пусть точка $Q$ является началом координат. Введем единичные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, сонаправленные с лучами $QA$, $QB$ и $QC$ соответственно. Поскольку векторы единичные, их модули (длины) равны 1:

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.

Следовательно, скалярные квадраты этих векторов также равны 1:

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1$

$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1$

$\vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 = 1$

Лучи $l_1, l_2, l_3$ являются биссектрисами углов, образованных парами лучей $QA, QB, QC$. Существует три таких угла: $\angle AQB$, $\angle BQC$ и $\angle CQA$. Пусть лучи $l_1, l_2, l_3$ являются их биссектрисами в некотором порядке. В силу симметрии задачи, конкретное соответствие не влияет на результат. Выберем следующее соответствие:

• $l_1$ — биссектриса угла $\angle BQC$. Ее направляющий вектор $\vec{v_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{b} + \vec{c}$.
• $l_2$ — биссектриса угла $\angle CQA$. Ее направляющий вектор $\vec{v_2}$ сонаправлен с вектором $\vec{c} + \vec{a}$.
• $l_3$ — биссектриса угла $\angle AQB$. Ее направляющий вектор $\vec{v_3}$ сонаправлен с вектором $\vec{a} + \vec{b}$.

По условию задачи, лучи $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны ($l_1 \perp l_2$). Это означает, что угол между их направляющими векторами равен $90^\circ$, а их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$

$(\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{c} + \vec{a}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$

Подставим значение $\vec{c} \cdot \vec{c} = 1$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} + 1 = 0$

Из этого уравнения мы получаем ключевое соотношение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -1$

Теперь нам нужно доказать, что другие пары лучей также перпендикулярны, то есть $l_1 \perp l_3$ и $l_2 \perp l_3$.

Докажем, что $l_2 \perp l_3$

Найдем скалярное произведение направляющих векторов $\vec{v_2}$ и $\vec{v_3}$:

$\vec{v_2} \cdot \vec{v_3} = (\vec{c} + \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

$\vec{v_2} \cdot \vec{v_3} = \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b}$

Подставим $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$ и сгруппируем слагаемые:

$\vec{v_2} \cdot \vec{v_3} = (\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) + 1$

Используем выведенное ранее соотношение $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -1$:

$\vec{v_2} \cdot \vec{v_3} = -1 + 1 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, лучи $l_2$ и $l_3$ перпендикулярны.

Докажем, что $l_1 \perp l_3$

Аналогично, найдем скалярное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_3}$:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b}$

Подставим $\vec{b} \cdot \vec{b} = 1$ и сгруппируем слагаемые:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = (\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) + 1$

Используем то же соотношение $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -1$:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = -1 + 1 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, лучи $l_1$ и $l_3$ перпендикулярны.

Таким образом, из условия, что $l_1 \perp l_2$, следует, что $l_1 \perp l_3$ и $l_2 \perp l_3$. Следовательно, лучи $l_1, l_2$ и $l_3$ попарно перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано.