Номер 685, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

685. Определите взаимное расположение прямой $AB$ и сферы с центром $Q$ и радиусом $R$, если:

a) $A$ (1; −1; 4), $B$ (3; 0; 2), $Q$ (2; −2; 1) и $R = 3$;

б) $A$ (1; −1; −3), $B$ (3; 0; −1), $Q$ (2; −2; 1) и $R = 1$;

в) $A$ (5; −7; −4), $B$ (5; 1; 0), $Q$ (3; −2; 1) и $R = 3$.

Для определения взаимного расположения прямой и сферы необходимо найти расстояние $d$ от центра сферы $Q$ до прямой $AB$ и сравнить его с радиусом сферы $R$.

Возможны три случая:

• Если $d > R$, прямая и сфера не имеют общих точек.
• Если $d = R$, прямая касается сферы в одной точке.
• Если $d < R$, прямая пересекает сферу в двух точках.

Расстояние от точки $Q$ до прямой, проходящей через точку $A$ с направляющим вектором $\vec{s}$, вычисляется по формуле: $d = \frac{|\vec{AQ} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$.

а)

Даны точки $A(1; -1; 4)$, $B(3; 0; 2)$, центр сферы $Q(2; -2; 1)$ и радиус $R=3$.

1. Находим направляющий вектор прямой $AB$:

$\vec{s} = \vec{AB} = (3-1; 0-(-1); 2-4) = (2; 1; -2)$.

2. Находим модуль направляющего вектора:

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

3. Находим вектор $\vec{AQ}$:

$\vec{AQ} = (2-1; -2-(-1); 1-4) = (1; -1; -3)$.

4. Находим векторное произведение $\vec{AQ} \times \vec{s}$:

$\vec{AQ} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -3 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-2) - 1(-3)) - \vec{j}(1(-2) - 2(-3)) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 2(-1)) = 5\vec{i} - 4\vec{j} + 3\vec{k} = (5; -4; 3)$.

5. Находим модуль векторного произведения:

$|\vec{AQ} \times \vec{s}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

6. Вычисляем расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{AQ} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.

7. Сравниваем $d$ и $R$. Для этого сравним их квадраты:

$d^2 = \left(\frac{5\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{25 \cdot 2}{9} = \frac{50}{9}$.

$R^2 = 3^2 = 9 = \frac{81}{9}$.

Так как $d^2 < R^2$ ($\frac{50}{9} < \frac{81}{9}$), то $d < R$. Следовательно, прямая пересекает сферу в двух точках.

Ответ: прямая пересекает сферу.

б)

Даны точки $A(1; -1; -3)$, $B(3; 0; -1)$, центр сферы $Q(2; -2; 1)$ и радиус $R=1$.

1. Находим направляющий вектор прямой $AB$:

$\vec{s} = \vec{AB} = (3-1; 0-(-1); -1-(-3)) = (2; 1; 2)$.

2. Находим модуль направляющего вектора:

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

3. Находим вектор $\vec{AQ}$:

$\vec{AQ} = (2-1; -2-(-1); 1-(-3)) = (1; -1; 4)$.

4. Находим векторное произведение $\vec{AQ} \times \vec{s}$:

$\vec{AQ} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(2) - 1(4)) - \vec{j}(1(2) - 2(4)) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 2(-1)) = -6\vec{i} + 6\vec{j} + 3\vec{k} = (-6; 6; 3)$.

5. Находим модуль векторного произведения:

$|\vec{AQ} \times \vec{s}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$.

6. Вычисляем расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{AQ} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} = \frac{9}{3} = 3$.

7. Сравниваем $d$ и $R$:

$d = 3$, $R=1$.

Так как $d > R$ ($3 > 1$), прямая и сфера не имеют общих точек.

Ответ: прямая и сфера не пересекаются.

в)

Даны точки $A(5; -7; -4)$, $B(5; 1; 0)$, центр сферы $Q(3; -2; 1)$ и радиус $R=3$.

1. Находим направляющий вектор прямой $AB$:

$\vec{s} = \vec{AB} = (5-5; 1-(-7); 0-(-4)) = (0; 8; 4)$.

Для удобства вычислений используем коллинеарный вектор $\vec{s'} = \frac{1}{4}\vec{s} = (0; 2; 1)$.

2. Находим модуль вектора $\vec{s'}$:

$|\vec{s'}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$.

3. Находим вектор $\vec{AQ}$:

$\vec{AQ} = (3-5; -2-(-7); 1-(-4)) = (-2; 5; 5)$.

4. Находим векторное произведение $\vec{AQ} \times \vec{s'}$:

$\vec{AQ} \times \vec{s'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 5 & 5 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(5 \cdot 1 - 2 \cdot 5) - \vec{j}((-2) \cdot 1 - 0 \cdot 5) + \vec{k}((-2) \cdot 2 - 0 \cdot 5) = -5\vec{i} + 2\vec{j} - 4\vec{k} = (-5; 2; -4)$.

5. Находим модуль векторного произведения:

$|\vec{AQ} \times \vec{s'}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

6. Вычисляем расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{AQ} \times \vec{s'}|}{|\vec{s'}|} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3$.

7. Сравниваем $d$ и $R$:

$d = 3$, $R=3$.

Так как $d = R$, прямая касается сферы в одной точке.

Ответ: прямая касается сферы.