Номер 686, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

686. Найдите длину отрезка прямой $AB$, принадлежащего шару с центром $Q$ и радиусом $R$, если:

$A$ $(-5; -6; 9)$, $B$ $(-7; -6; 7)$, $Q$ $(2; -2; 1)$ и $R = 13$;

$A$ $(-4; 9; 3)$, $B$ $(4; 15; -3)$, $Q$ $(2; 4; -1)$ и $R = 3$.

а)

Чтобы найти длину отрезка прямой, принадлежащего шару, мы определим точки пересечения этой прямой с поверхностью шара (сферой). Длина искомого отрезка будет равна расстоянию между этими двумя точками.

1. Сначала составим параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $A(-5; -6; 9)$ и $B(-7; -6; 7)$.

Направляющий вектор прямой $\vec{v}$ равен вектору $\vec{AB}$:

$\vec{v} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-7 - (-5); -6 - (-6); 7 - 9) = (-2; 0; -2)$.

Используем точку A в качестве начальной. Параметрические уравнения прямой имеют вид:

$\begin{cases} x = x_A + v_x t \\ y = y_A + v_y t \\ z = z_A + v_z t \end{cases} \implies \begin{cases} x = -5 - 2t \\ y = -6 \\ z = 9 - 2t \end{cases}$

2. Запишем уравнение сферы. Центр шара находится в точке $Q(2; -2; 1)$, а радиус $R = 13$.

Уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 1)^2 = R^2$.

$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 13^2 = 169$.

3. Найдем точки пересечения, подставив параметрические уравнения прямой в уравнение сферы.

$(-5 - 2t - 2)^2 + (-6 + 2)^2 + (9 - 2t - 1)^2 = 169$

$(-7 - 2t)^2 + (-4)^2 + (8 - 2t)^2 = 169$

Раскроем скобки:

$(49 + 28t + 4t^2) + 16 + (64 - 32t + 4t^2) = 169$

Приведем подобные слагаемые:

$8t^2 - 4t + 129 = 169$

$8t^2 - 4t - 40 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4:

$2t^2 - t - 10 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение для параметра $t$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

5. Найдем координаты точек пересечения $P_1$ и $P_2$, подставив найденные значения $t_1$ и $t_2$ в параметрические уравнения прямой.

Для $t_1 = -2$:

$P_1 = (-5 - 2(-2); -6; 9 - 2(-2)) = (-1; -6; 13)$

Для $t_2 = 5/2$:

$P_2 = (-5 - 2(\frac{5}{2}); -6; 9 - 2(\frac{5}{2})) = (-10; -6; 4)$

6. Теперь найдем расстояние между точками $P_1$ и $P_2$, которое и является искомой длиной отрезка.

$L = |\vec{P_1P_2}| = \sqrt{(-10 - (-1))^2 + (-6 - (-6))^2 + (4 - 13)^2}$

$L = \sqrt{(-9)^2 + 0^2 + (-9)^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$

Ответ: $9\sqrt{2}$.

б)

Действуем по тому же алгоритму, что и в пункте а).

1. Составим параметрические уравнения прямой для точек $A(-4; 9; 3)$ и $B(4; 15; -3)$.

Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{AB} = (4 - (-4); 15 - 9; -3 - 3) = (8; 6; -6)$.

Параметрические уравнения прямой:

$\begin{cases} x = -4 + 8t \\ y = 9 + 6t \\ z = 3 - 6t \end{cases}$

2. Уравнение сферы с центром в точке $Q(2; 4; -1)$ и радиусом $R = 3$.

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - (-1))^2 = 3^2$

$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2 = 9$

3. Подставим уравнения прямой в уравнение сферы.

$(-4 + 8t - 2)^2 + (9 + 6t - 4)^2 + (3 - 6t + 1)^2 = 9$

$(8t - 6)^2 + (6t + 5)^2 + (4 - 6t)^2 = 9$

Раскроем скобки:

$(64t^2 - 96t + 36) + (36t^2 + 60t + 25) + (16 - 48t + 36t^2) = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$(64+36+36)t^2 + (-96+60-48)t + (36+25+16) = 9$

$136t^2 - 84t + 77 = 9$

$136t^2 - 84t + 68 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$34t^2 - 21t + 17 = 0$

4. Проверим, имеет ли это уравнение действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 34 \cdot 17 = 441 - 2312 = -1871$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней для параметра $t$. Это означает, что прямая AB не пересекает сферу ни в одной точке.

Следовательно, не существует отрезка прямой, принадлежащего шару, и его длина равна нулю.

Ответ: 0.