Номер 681, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

681. Найдите множество точек пространства, для которых сумма квадратов расстояний до координатных осей равна $a^2$.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат $Oxyz$. Рассмотрим произвольную точку $M$ с координатами $(x, y, z)$. Наша задача — найти уравнение поверхности, которую образуют все такие точки.

Для этого найдем квадраты расстояний от точки $M$ до каждой из трёх координатных осей. Расстояние от точки до прямой определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

1. Квадрат расстояния от точки $M(x, y, z)$ до оси абсцисс ($Ox$).
Проекцией точки $M$ на ось $Ox$ является точка $P_x(x, 0, 0)$. Тогда квадрат расстояния $d_x^2$ от точки $M$ до оси $Ox$ равен квадрату длины отрезка $MP_x$:
$d_x^2 = (x-x)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = y^2 + z^2$.

2. Квадрат расстояния от точки $M(x, y, z)$ до оси ординат ($Oy$).
Проекцией точки $M$ на ось $Oy$ является точка $P_y(0, y, 0)$. Тогда квадрат расстояния $d_y^2$ от точки $M$ до оси $Oy$ равен:
$d_y^2 = (x-0)^2 + (y-y)^2 + (z-0)^2 = x^2 + z^2$.

3. Квадрат расстояния от точки $M(x, y, z)$ до оси аппликат ($Oz$).
Проекцией точки $M$ на ось $Oz$ является точка $P_z(0, 0, z)$. Тогда квадрат расстояния $d_z^2$ от точки $M$ до оси $Oz$ равен:
$d_z^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-z)^2 = x^2 + y^2$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих расстояний равна $a^2$:
$d_x^2 + d_y^2 + d_z^2 = a^2$.

Подставим полученные выражения в это уравнение:
$(y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = a^2$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения и приведем подобные члены:
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = a^2$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2}{2}$.

Это уравнение является каноническим уравнением сферы. Оно описывает сферу с центром в начале координат, точке $O(0, 0, 0)$, и радиусом $R$, квадрат которого равен $R^2 = \frac{a^2}{2}$.

Таким образом, радиус сферы равен $R = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Искомое множество точек — это сфера с центром в начале координат и радиусом $R = \frac{|a|\sqrt{2}}{2}$. Уравнение этой сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2}{2}$.