Номер 688, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

688. Сфера с центром $Q$ касается прямой $AB$. Найдите условие, которому удовлетворяет радиус этой сферы, если:

a) $Q (2; -2; 1)$, $A (0; 2; 3)$, $B (3; 0; 2);$

б) $Q (-2; 1; 0)$, $A (1; 1; 2)$, $B (2; 1; -1).$

Условие того, что сфера с центром в точке $Q$ касается прямой $AB$, заключается в том, что радиус сферы $R$ должен быть равен расстоянию от точки $Q$ до прямой $AB$.

Расстояние $d$ от точки $M_0$ до прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, можно вычислить по формуле, использующей векторное произведение:

$d = R = \frac{|\vec{AQ} \times \vec{AB}|}{|\vec{AB}|}$

Здесь $\vec{AQ}$ — это вектор от точки $A$ на прямой до центра сферы $Q$, а $\vec{AB}$ — это направляющий вектор прямой.

Даны координаты точек: $Q(2; -2; 1)$, $A(0; 2; 3)$ и $B(3; 0; 2)$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AQ}$:

$\vec{AB} = (3 - 0; 0 - 2; 2 - 3) = (3; -2; -1)$

$\vec{AQ} = (2 - 0; -2 - 2; 1 - 3) = (2; -4; -2)$

2. Вычислим их векторное произведение $\vec{AQ} \times \vec{AB}$:

$\vec{AQ} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -4 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-1) - (-2)(-2)) - \mathbf{j}(2(-1) - (-2)(3)) + \mathbf{k}(2(-2) - (-4)(3))$

$= \mathbf{i}(4-4) - \mathbf{j}(-2+6) + \mathbf{k}(-4+12) = 0\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (0; -4; 8)$

3. Найдем модуль (длину) вектора, полученного в результате векторного произведения:

$|\vec{AQ} \times \vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{0 + 16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

4. Найдем модуль (длину) направляющего вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

5. Теперь можем найти радиус сферы $R$, который равен расстоянию от точки $Q$ до прямой $AB$:

$R = \frac{|\vec{AQ} \times \vec{AB}|}{|\vec{AB}|} = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{14}} = \frac{4\sqrt{5}\sqrt{14}}{14} = \frac{4\sqrt{70}}{14} = \frac{2\sqrt{70}}{7}$

Таким образом, условие, которому удовлетворяет радиус, — это его равенство вычисленному расстоянию.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{70}}{7}$.

Даны координаты точек: $Q(-2; 1; 0)$, $A(1; 1; 2)$ и $B(2; 1; -1)$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AQ}$:

$\vec{AB} = (2 - 1; 1 - 1; -1 - 2) = (1; 0; -3)$

$\vec{AQ} = (-2 - 1; 1 - 1; 0 - 2) = (-3; 0; -2)$

2. Вычислим их векторное произведение $\vec{AQ} \times \vec{AB}$:

$\vec{AQ} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0(-3) - (-2)0) - \mathbf{j}((-3)(-3) - (-2)1) + \mathbf{k}((-3)0 - 0 \cdot 1)$

$= \mathbf{i}(0-0) - \mathbf{j}(9+2) + \mathbf{k}(0-0) = 0\mathbf{i} - 11\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (0; -11; 0)$

3. Найдем модуль вектора, полученного в результате векторного произведения:

$|\vec{AQ} \times \vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-11)^2 + 0^2} = \sqrt{121} = 11$

4. Найдем модуль направляющего вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 0 + 9} = \sqrt{10}$

5. Найдем радиус сферы $R$:

$R = \frac{|\vec{AQ} \times \vec{AB}|}{|\vec{AB}|} = \frac{11}{\sqrt{10}} = \frac{11\sqrt{10}}{10}$

Следовательно, радиус сферы должен быть равен $\frac{11\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $R = \frac{11\sqrt{10}}{10}$.