Номер 691, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

691. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ ребра основания равны 1, боковые ребра — 2. Найдите расстояние от вершины A призмы:

а) до прямой $D_1E$;

б) до прямой $BF_1$;

в) до прямой $B_1D$;

г) до прямой $B_1E$;

д) до прямой $DE_1$;

е) до прямой $A_1C$.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы в начало координат O(0, 0, 0). Ось Oz направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Поскольку призма правильная, ее основания (правильные шестиугольники) лежат в плоскостях, параллельных Oxy.

Сторона основания равна 1, следовательно, радиус описанной окружности также равен 1. Боковое ребро равно 2, значит высота призмы равна 2.

Найдем координаты вершин. Вершины нижнего основания лежат в плоскости z=0, а верхнего — в плоскости z=2. Разместим вершину A на положительной части оси Ox.

Координаты вершин нижнего основания (z=0):

• $A(1, 0, 0)$
• $B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (z=2):

• $A_1(1, 0, 2)$
• $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $D_1(-1, 0, 2)$
• $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$
• $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$

Расстояние $d$ от точки $M_0$ до прямой, проходящей через точки $M_1$ и $M_2$, вычисляется по формуле:$d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{M_1M_2}|}{|\vec{M_1M_2}|}$, где $\vec{M_1M_2}$ — направляющий вектор прямой.

а) до прямой $D_1E$

Ищем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D_1(-1, 0, 2)$ и $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Найдем векторы:

$\vec{D_1A} = (1 - (-1), 0 - 0, 0 - 2) = (2, 0, -2)$

Направляющий вектор прямой $\vec{D_1E} = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 2) = (1/2, -\sqrt{3}/2, -2)$

Найдем векторное произведение:

$\vec{D_1A} \times \vec{D_1E} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-2) - (-2) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(2 \cdot (-2) - (-2) \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot \frac{1}{2}) = -\sqrt{3}\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, 3, -\sqrt{3})$

Модуль векторного произведения: $|\vec{D_1A} \times \vec{D_1E}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{D_1E}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) до прямой $BF_1$

Ищем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$.

Векторы:

$\vec{BA} = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{BF_1} = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 2 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 2)$

Векторное произведение:

$\vec{BA} \times \vec{BF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 2) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3})) = (-\sqrt{3}, -1, -\sqrt{3}/2)$

Модуль векторного произведения: $|\vec{BA} \times \vec{BF_1}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3 + 1 + 3/4} = \sqrt{19/4} = \frac{\sqrt{19}}{2}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{BF_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{19}/2}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{133}}{14}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{133}}{14}$

в) до прямой $B_1D$

Ищем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.

Векторы:

$\vec{DA} = (1 - (-1), 0 - 0, 0 - 0) = (2, 0, 0)$

$\vec{DB_1} = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 2 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 2)$

Векторное произведение:

$\vec{DA} \times \vec{DB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(2 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (0, -4, \sqrt{3})$

Модуль векторного произведения: $|\vec{DA} \times \vec{DB_1}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{DB_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{133}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{133}}{7}$

г) до прямой $B_1E$

Ищем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.

Векторы:

$\vec{EA} = (1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{EB_1} = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 2 - 0) = (1, \sqrt{3}, 2)$

Векторное произведение:

$\vec{EA} \times \vec{EB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1 & \sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2) - \mathbf{j}(\frac{3}{2} \cdot 2) + \mathbf{k}(\frac{3}{2}\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\sqrt{3}, -3, \sqrt{3})$

Модуль векторного произведения: $|\vec{EA} \times \vec{EB_1}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 3} = \sqrt{15}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{EB_1}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{4}$

д) до прямой $DE_1$

Ищем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$ и $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$.

Векторы:

$\vec{DA} = (1 - (-1), 0 - 0, 0 - 0) = (2, 0, 0)$

$\vec{DE_1} = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 2 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$

Векторное произведение:

$\vec{DA} \times \vec{DE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(2 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) = (0, -4, -\sqrt{3})$

Модуль векторного произведения: $|\vec{DA} \times \vec{DE_1}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$.

Модуль направляющего вектора: $|\vec{DE_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние: $d = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{95}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{95}}{5}$

е) до прямой $A_1C$

Ищем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до прямой, проходящей через точки $A_1(1, 0, 2)$ и $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Это расстояние равно высоте треугольника $A A_1 C$, опущенной из вершины A на сторону $A_1C$.

Найдем векторы, исходящие из вершины A:

$\vec{AA_1} = (1 - 1, 0 - 0, 2 - 0) = (0, 0, 2)$

$\vec{AC} = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot (-3/2) + 0 \cdot (\sqrt{3}/2) + 2 \cdot 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и, следовательно, треугольник $A A_1 C$ является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

Найдем длины катетов:

$|AA_1| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = 2$.

$|AC| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Длина гипотенузы $A_1C$: $|A_1C| = \sqrt{|AA_1|^2 + |AC|^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$.

Искомое расстояние — это высота $h$, опущенная из прямого угла на гипотенузу. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$S = \frac{1}{2} |AA_1| \cdot |AC| = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

$S = \frac{1}{2} |A_1C| \cdot h = \frac{1}{2} \sqrt{7} \cdot h$.

Приравняем выражения для площади: $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{7}}{2}h$.

Отсюда находим высоту $h$: $h = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$