Номер 2, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых; от двух данных пересекающихся прямых?

от двух данных параллельных прямых

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных параллельных прямых, — это множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до первой прямой равно расстоянию до второй прямой.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Расстояние между параллельными прямыми — это постоянная величина, равная длине их общего перпендикуляра. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую искомому ГМТ. По определению, расстояние от точки $M$ до прямой $a$ (обозначим $h_1$) равно расстоянию от точки $M$ до прямой $b$ (обозначим $h_2$). Таким образом, $h_1 = h_2$.

Любая точка, удовлетворяющая этому условию, должна находиться в полосе между прямыми $a$ и $b$. Если провести перпендикуляр к обеим прямым, проходящий через точку $M$, то он пересечет прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Длина отрезка $AB$ равна $d$. При этом точка $M$ лежит на отрезке $AB$, и $d = MA + MB = h_1 + h_2$. Так как $h_1 = h_2$, то $d = 2h_1$, откуда $h_1 = d/2$.

Это означает, что любая точка искомого ГМТ находится на расстоянии $d/2$ от каждой из данных прямых. Множество всех таких точек образует прямую, которая параллельна данным прямым $a$ и $b$ и расположена ровно посередине между ними.

Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и проходящая посередине между ними.

от двух данных пересекающихся прямых

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, — это множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до первой прямой равно расстоянию до второй прямой.

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$. Они образуют две пары равных вертикальных углов.

Рассмотрим произвольную точку $M$, равноудаленную от прямых $a$ и $b$. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA$ на прямую $a$ и $MB$ на прямую $b$. По условию, длины этих перпендикуляров равны: $MA = MB$.

Соединим точку $M$ с точкой пересечения прямых $O$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ (углы $\angle OAM$ и $\angle OBM$ прямые по построению). У этих треугольников:
1. Общая гипотенуза $OM$.
2. Катеты $MA$ и $MB$ равны по условию ($MA=MB$).
Следовательно, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle BOM$. Это по определению означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle AOB$, образованного прямыми $a$ и $b$.

Данные рассуждения верны для любой точки в любом из четырех углов, образованных пересечением прямых $a$ и $b$. Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из биссектрис всех четырех углов. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, а биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. В итоге мы получаем две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку пересечения данных прямых.

Ответ: Две взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.